Тела и поверхности вращения - урок 2 - НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ

Цели: познакомить учащихся с понятием конуса, его элементами; вывести формулу, выражающую объем конуса и формулу площади боковой поверхности конуса; учить решать задачи; способствовать развитию логического мышления учащихся.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Двое учащихся решают на доске задачи № 1214 (а) и № 1244, заданные на дом.

2. С остальными учащимися проводится работа по ответам на вопросы 15–18 (с. 336 учебника).

Решение задачи № 1214 (а).

Дано: r = 2см; h = 3 см. Найти: V.

V = Sh = πr2h = π ∙ (2)2 ∙ 3 = 24π (см3).

Ответ: см3.

Решение задачи № 1244.

Дано: d = 4 мм = 0,4 см; m = 6,8 кг; с = 2,6 г/см3.

Найти: h (длину провода).

с =; V =; V =≈ 2615 (см3); r = 0,2 см.

Vцил = Sосн ∙ h = πr2h, отсюда h =≈ 20820 (см) ≈ 208 м.

Ответ: ≈ 208 м.

II. Изучение нового материала.

Учитель демонстрирует модели конуса, лейку в виде конуса; можно свернуть из бумаги кулек в виде конуса.

1. Возьмем прямоугольный треугольник АВС и будем вращать его вокруг катета АВ (рис. 362, с. 328 учебника). В результате получится тело, которое называется конусом

Учитель показывает на доске изображение конуса, учащиеся рисуют конус в тетради.

2. Прямая АВ называется осью конуса, а отрезок АВ – его высотой.

При вращении катета ВС образуется круг, он называется основанием конуса. При вращении гипотенузы АС образуется поверхность, состоящая из отрезков с общим концом А (рис. 362). Ее называют конической поверхностью или боковой поверхностью конуса, а отрезки, из которых она составлена, – образующими конуса. Таким образом, конус – это тело, ограниченное кругом и конической поверхностью.

3. Пользуясь принципом Кавальери, можно доказать (см. задачу № 1219), что объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

,

где r – радиус основания, h – его высота.

4. Ввести понятие развертки боковой поверхности конуса (рис. 363 а, б). Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса, то есть равен l, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, то есть равна 2πr.

5. Площадь Sбок боковой поверхности конуса равна площади ее развертки, то ест.

,

где α – градусная мера дуги сектора (рис. 363, б).

Длина дуги окружности с градусной мерой  и радиусом l равна .

С другой стороны, длина дуги равна 2πr, то есть = 2πr, поэтому Sбок = = 2πr ∙ = πrl.

Итак, площадь боковой поверхности конуса с образующей l и радиусом основания r выражается формулой .

III. Выполнение упражнений.

1. Решить задачу № 1220 (б, в).

Учащиеся решают самостоятельно, потом решение задачи проверяется.

Решение

б) Дано: r = 4 см; V = 48 π см3.

Найти h.

V = πr2h; отсюда h == 9 (см).

Ответ: 9 см.

в) Дано: h = m; V = р.

Найти r.

V = πr2h; найдем r2 =, тогда r =.

Ответ: .

2. Решить задачу № 1221 на доске и в тетрадях.

Решение

Sосн = Q, Sбок = P. Найти V.

1) Sосн = πr2 = Q, отсюда r =.

2) Sбок = πrl = P, отсюда l =.

3) По теореме Пифагора из Δ АВС найдем h2 = l2 – r2 =.

Значит, h = .

4) Найдем объем конуса V = πr2h =Q ∙ .

Ответ: .

3. Решить задачу № 1222.

Решение.

По условию Sполн. конуса = 45π дм2; α = 60°.

Найти V.

V = πr2h. Sполн. конуса = Sосн + Sбок = πr2 +∙ α = πr2 += πr2 +.

Получили, что Sбок =, с другой стороны, Sбок = πrl, тогда приравняем эти два равенства, получим = πrl; разделим обе части на πl, получим = r, отсюда l = 6r.

По условию Sполн = 45π дм2, значит, 45π = πr2 +; 45π = πr2 + 6πr2; 45π = 7πr2, отсюда r2 =.

Из Δ АВС по теореме Пифагора найдем h2 = l2 – r2 = (6r)2 – r2 = 36r2 – r2 = 35r2 == 225. h == 15; h = 15 дм.

Найдем объем конуса (дм3).

Ответ: дм3.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пункта 126; ответить на вопросы 19–22 (с. 336 учебника); решить задачу № 1220 (а); записать в тетрадь решение задачи № 1219 (с. 332 –333 учебника).