Сфера и шар - НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ

Цели: ввести понятие сферы, центра сферы, радиуса сферы, диаметра; дать определение шара; научить учащихся изображать шар; рассмотреть доказательство теоремы об объеме шара и площади сферы; развивать умение решать задачи.

Ход урока

I. Проверочная работа (10 мин).

Учащиеся на отдельных листочках отвечают на вопросы, выполняют построения, а затем сдают учителю работы на проверку.

Вариант 1

1. Объясните, какое тело называется цилиндром; что такое ось, высота, основание, радиус, боковая поверхность, образующие цилиндра. Выполните построение цилиндра.

2. Какой формулой выражается объем цилиндра? Запишите формулу.

3. Объясните, как получается и что представляет собой развертка боковой поверхности цилиндра.

4. Запишите формулу площади боковой поверхности цилиндра.

Вариант 2

1. Объясните, какое тело называется конусом; что такое ось, высота, основание, боковая поверхность, образующие конуса. Выполните построение конуса.

2. Какой формулой выражается объем конуса? Запишите формулу.

3. Объясните, как получается и что представляет собой развертка боковой поверхности конуса.

4. Запишите формулу площади боковой поверхности конуса.

II. Работа с учебником.

1. Учащиеся самостоятельно изучают материал пункта 127 «Сфера и шар» (с. 330–331). затем учитель показывает на доске изображение сферы и шара (рис. 364, 365), а учащиеся в тетрадях выполняют построение сферы и шара.

2. В тетрадях учащиеся записывают:

а) Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы.

б) Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы.

в) Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара.

г) Объем шара радиуса R равен πR3.

д) Площадь сферы радиуса R равна 4πR2.

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 1226 (б; в).

Учащиеся решают самостоятельно.

Решение

б) Дано: V = 113,04 см3.

Найти R и S.

V =πR3, отсюда, R3 =, значит, R =.

R =≈≈≈ 3 (см).

R ≈ 3 см.

S = 4πR2 ≈ 4π ∙ 32 ≈ 36π (см2).

S ≈ 36π см2.

Ответ: ≈ 3 см; ≈ 36π см2.

в) Дано: S = 64π (см2).

Найти R и V.

S = 4πR2, отсюда R2 =, то R =; R == 4 (см); R = 4 см.

(см3).

Ответ: 4 см; π см3.

2. Решить задачу № 1227 на доске и в тетрадях.

Решение

Диаметр Луны составляет (приближенно) четвертую часть диаметра Земли, то есть dЗемли = 4dЛуны, тогда радиус земли в 4 раза больше радиуса луны, то есть R1 = 4R2. Найдем объем лун.

.

Найдем объем земли .

Значит, объем земли в 64 раза больше объема луны.

Ответ: в 64 раза.

3. Решить задачу № 1229.

Учащиеся решают самостоятельно. затем проверяется решение задачи.

Решение

По условию R = 10 см. По формуле S = 4πR2 найдем площадь сферы (покрышки футбольного мяча).

S = 4π ∙ 102 = 400π (см2) ≈ 400 ∙ 3,14 ≈ 1256 (см2).

8 % = 0,08 от 1256 равно 1256 ∙ 0,08 = 100,48 (см2).

На покрышку футбольного мяча необходимо кожи: 1256 + 100,48 = 1356,48 ≈ 1357.

Ответ: ≈ 1357 см2.

4. Задача № 1228 практического содержания.

Решение

По условию ВD = h = 12 см; АС = 5 см, тогда ВС = r = 2,5 см. Найдем объем конуса (объем стаканчика для мороженого): Vконуса =πr2h =π ∙ 6,25 ∙ 12 = 25π (см3).

Положим две ложки мороженого в виде полушарий, тогда вместе они составляют шар диаметром 5 см, то есть радиусом 2,5 сантиметра. Найдем объем шара (объем мороженого):

Vшара =πR3 =π ∙ (2,5)3 =π ∙ 6,25 ∙ 2,5 = (4π ∙ 6,25) ∙ = 25π ∙ ≈ 25π ∙ 0,8 (см3).

Значение выражения 25π ∙ 0,8 меньше значения выражения 25π. Поэтому объем шара (объем мороженого) меньше объема конуса (объема стаканчика для мороженого). Значит, мороженое, если оно растает, не переполнит стаканчик.

Ответ: нет.

5. Решить задачу № 1231 на доске и в тетрадях.

Решение

Отношение объемов двух шаров равно кубу коэффициента подобия, так как любые шары – это подобные тела. = k3.

По условию = 8 = 23, отсюда k = 2.

Аналогично теореме «отношение площадей двух подобных треугольников (фигур) равно квадрату коэффициента подобия» (см. пункт 58 на с. 139 учебника) имеем, что отношение площадей поверхностей двух подобных тел равно квадрату коэффициента подобия. = k2.

так как k = 2, то = 22 = 4, то есть S1 : S2 = 4 : 1.

Ответ: 4 : 1.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пункта 127, ответить на вопросы 23–26, записать в тетради решение задач №№ 1224, 1225 (с. 333–335 учебника).