Тригонометрические неравенства (факультативное занятие) - Преобразование тригонометрических выражений - 2-е полугодие

Цель: рассмотреть способы решения тригонометрических неравенств.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

Решите уравнение:

Вариант 2

Решите уравнение:

III. Изучение нового материала

Решение тригонометрических неравенств (как и уравнений), как правило, сводится к решению простейших тригонометрических неравенств. Поэтому прежде всего остановимся на решении таких неравенств. Их удобно решать, используя единичную окружность.

Пример 1

Решим неравенство sin x > 1/2.

На единичной окружности по оси ординат отложим значение sin х = 1/2 и построим соответствующие углы (углы откладываются против часовой стрелки и являются положительными). На рисунке видно, что неравенству sin х > 1/2 удовлетворяют значения Учтем, что период функции синуса составляет 2π, и получим решение данного неравенства или

Пример 2

Решим неравенство

На оси котангенсов для единичной окружности отложим значение и построим соответствующий угол Видно, что неравенству удовлетворяют значения Учитывая период функции котангенса (равный π), получим решение данного неравенства: или где n ∈ Z.

В случае сложного аргумента тригонометрической функции рекомендуется обозначить его новой переменной, решить для него неравенство, а затем вернуться к старой неизвестной.

Пример 3

Решим неравенство

Обозначим аргумент косинуса и получим простейшее тригонометрическое неравенство Решим это неравенство. На единичной окружности по оси абсцисс отложим значение и построим соответствующие углы Тогда неравенству удовлетворяют значения Учтем периодичность функции cos y и получим решения

Теперь вернемся к старой неизвестной х и получим двойное линейное неравенство Ко всем частям неравенства прибавим число π/6. Отсюда Все части неравенства разделим на положительное число 3. При этом знак неравенства сохраняется. Получим: или где n ∈ Z.

Если неравенство не является простейшим, то используя преобразования, аналогичные тем, которые применялись для уравнений, сводим неравенство к простейшему.

Пример 4

Решим неравенство

Введем новую переменную у = tg x и получим квадратное неравенство Это неравенство имеет решение Вернемся к старой неизвестной x и получим двойное неравенство На единичной окружности по оси тангенсов отложим значения 1 и и построим соответствующие углы Тригонометрическому неравенству удовлетворяют значения Учтем периодичность функции тангенса и получим решение данного неравенства: или

Также при решении тригонометрических неравенств можно использовать метод интервалов (который является универсальным для всех неравенств).

Пример 5

Решим неравенство

На единичной окружности отметим значения х, при которых обращается в нуль числитель (откуда ) и знаменатель sin 2х = 0 (тогда ) (откуда ) дроби. Определим знак этой дроби, например, при х = π/6 и получим:

Учтем, что при переходе через отмеченные значения х знак неравенства меняется на противоположный. Построим диаграмму знаков данной дроби. Также учтем значения х, при которых знаменатель дроби обращается в нуль (они отмечены кружками). Теперь легко выписать решения неравенства: Учитывая, что через 2пn (где n ∈ Z) ситуация повторяется, выпишем решения данного неравенства:

При наличии в неравенстве функций тангенса и котангенса удобно перейти к функциям синуса и косинуса и использовать рассмотренный метод интервалов.

Пример 6

Решим неравенство

Учтем, что и запишем неравенство в виде Отметим на единичной окружности значения х, при которых обращается в нуль числитель sin x – cos x = 0 (откуда и ) и знаменатель sin x cos x = 0 (тогда и x = 2π) дроби. Определим знак данной дроби, например, при х = π/3 и получим.

Учтем, что при переходе через отмеченные значения x знак неравенства меняется на противоположный. Построим диаграмму знаков данной дроби. Учтем также значения х, при которых знаменатель дроби обращается в нуль (они отмечены кружками). С учетом периодичности функций синуса и косинуса, входящих в неравенство, запишем окончательное решение данного неравенства где n ∈ Z.

При использовании метода интервалов необходимо помнить, что тригонометрическое выражение может иметь кратные корни. При переходе через корень нечетной кратности знак выражения меняется на противоположный, при проходе через корень четной кратности знак сохраняется.

Пример 7

Решим неравенство

На единичной окружности отметим значения x, при которых обращается в нуль числитель 2 sin x -1 = 0 (откуда ) и знаменатель (тогда ). Учтем, что х = -π/6 - корень второй (четной) кратности и при переходе через него знак дроби не меняется. Определим знак выражения, например, при х = 0 и получим: Построим диаграмму знаков данной дроби. Учтем значения х, при которых знаменатель дроби обращается в нуль (они отмечены кружками). С учетом периодичности функций, входящих в неравенство, запишем его решения:

IV. Задание на уроке и на дом

Решите неравенство:

Ответы:

V. Подведение итогов урока