Алгебра и начала анализа 10 класс поурочные планы по учебнику Мордковича А. Г.

Тригонометрические уравнения (факультативное занятие) - Преобразование тригонометрических выражений - 2-е полугодие

Цель: систематизировать способы решения тригонометрических уравнений.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Напишите формулу для: a) sin x + sin у; б) cos х cos у.

2. Упростите выражение

3. Постройте график уравнения sin у = cos x.

Вариант 2

1. Напишите формулу для: a) cos x + cos у; б) sin x sin у.

2. Упростите выражение

3. Постройте график уравнения cos у = sin x.

III. Изучение нового материала

В главах 2-4 рассматривались различные тригонометрические уравнения. Учитывая, что на практике уравнения встречаются очень часто, необходимо систематизировать, обобщить и дополнить изученный материал.

Более сложные тригонометрические уравнения решаются путем их сведения к простейшим. Методы сведения уравнений к простейшим, по сути, и являются способами их решения. Рассмотрим их.

1. Замена неизвестной

Если в уравнении тригонометрические функции удается выразить через одну функцию, то эту функцию можно выбрать в качестве новой неизвестной.

Пример 1

Решим уравнение 5 cos2 х - 3 cos х = 2.

Введем новую неизвестную cos х = y и получим квадратное уравнение 5у2 - 3у - 2 = 0, корни которого у1 = 1 и у2 = -2/5. Вернемся к старой переменной. Имеем два простейших уравнения:

а) cos x = 1, его решения х = 2пn, n ∈ Z;

б) cos x = -2/5, его решения

Достаточно часто для приведения уравнения к одной переменной используют основное тригонометрическое тождество.

Пример 2

Решим уравнение 5 - 7 sin x = 3 cos2 x.

Используя основное тригонометрическое тождество, выразим cos2 x = 1 - sin2 х и запишем в виде 5 - 7 sin x = 3(1 - sin2 x) или 3sin2 x – 7 sin x + 2 = 0. Введем новую неизвестную y = sin x и получим квадратное уравнение 3у2 - 1у + 2 = 0, корни которого у1 = 1/3 и у2 = 2. Вернемся к старой неизвестной x. Получим простейшие тригонометрические уравнения:

а) sin х = 1/3, его решения

б) sin x = 2, решений не имеет, так как sin x ≤ 1.

На экзаменах регулярно встречаются однородные уравнения различных степеней. Ознакомимся с ними.

Пример 3

Решим уравнение 2 sin х + 5 cos х = 0.

Левая часть уравнения содержит функции sin x и cos x, входящие в одной и той же первой степени, правая часть равна нулю. Поэтому данное уравнение называют однородным уравнением первой степени.

Проверим, что cos x = 0 не удовлетворяет уравнению. Действительно, при подстановке cos х = 0 в уравнение получим: 2sin x = 0 или sin х = 0. Но если cos х = 0 и sin x = 0, то не выполняется основное тригонометрическое тождество. Следовательно (от противного), cos x ≠ 0.

Разделим все члены данного уравнения на cos х (так как cos x ≠ 0). Получим уравнение или 2 tg x + 5 = 0, откуда tg x = -2,5. Решения этого простейшего уравнения Учтено, что функция арктангенс является нечетной.

Пример 4

Решим уравнение

Левая часть уравнения содержит функции sin2x и cos2x, входящие в одной и той же второй степени (при этом произведение sin2xcos2x приписывается степень, равная сумме степеней множителей, т. е. тоже вторая), правая часть равна нулю. Поэтому данное уравнение называют однородным уравнением второй степени.

Проверим, что cos2x = 0 не удовлетворяет уравнению. При подстановке cos2x = 0 в уравнение получим: 6sin2 2x = 0 или sin2x = 0. Так как cos2x = 0 и sin2x = 0, то не выполняется основное тригонометрическое тождество. Следовательно, cos2x ≠ 0. Поэтому разделим все члены данного уравнения на cos2 2x и получим: или

Введем новую переменную у = tg 2x. Имеем квадратное уравнение 6у2 - 5у + 1 = 0, корни которого у1 = 1/2 и у2 = 1/3. Вернемся к старой неизвестной и получим простейшие уравнения:

Достаточно часто уравнения, формально не являющиеся однородными, можно свести к однородным, используя основное тригонометрическое тождество.

Пример 5

Решим уравнение

Левая часть уравнения представляет собой однородный многочлен второй степени по переменным sin х и cos х. Однако в правой части уравнения вместо числа 0 стоит число 1. Поэтому, используя основное тригонометрическое тождество, запишем число 1 также в виде однородного многочлена второй степени: 1 = sin2 x + cos2 x. Тогда получим уравнение или Такое уравнение уже является однородным и решается аналогично предыдущему примеру.

Обычным способом убеждаемся, что в таком уравнении cos х ≠ 0 и делим все члены уравнения на cos2 x. Получим уравнение tg2 x + 5tg x + 4 = 0. Введем новую переменную у = tg x и получим квадратное уравнение у2 + 5у + 4 = 0, корни которого у1 = -1 и у2 = -4. Вернемся к старой неизвестной. Имеем простейшие тригонометрические уравнения:

а) tg x = -1, его решения

б) tg x = -4, его решения (была учтена нечетность функции арктангенса).

На практике распространены симметричные уравнения, т. е. уравнения, которые не меняются при замене sin x на cos x и наоборот (с точностью до перестановки множителей и слагаемых). Такие уравнения решаются с помощью замены у = sin x + cos x (простейший симметричный двучлен).

Пример 6

Решим уравнение

Если заменить sin x на cos x и наоборот, то получим уравнение которое совпадает с данным с точностью до перестановки слагаемых и множителей. По определению данное уравнение является симметричным.

Введем новую переменную у = sin x + cos x. Возведем это равенство в квадрат: или откуда Подставив выражения sin x + cos x = у и в данное уравнение, получим квадратное уравнение или Его корни т. е. Теперь вернемся к старой неизвестной х. При этом удобнее использовать соотношения и т. е.

а) Для имеем уравнение Его решения откуда

б) Для получим уравнение Его решения откуда

Аналогичным способом можно решать уравнения, похожие по структуре на симметричные уравнения.

Пример 7

Решим уравнение

Формально данное уравнение не является симметричным, но имеет похожую структуру. Поэтому решим его аналогично предыдущему примеру.

Введем новую переменную у = sin x – cos x. Возведем в квадрат это равенство и получим: или откуда выразим Подставим у и y2 в данное уравнение. Имеем квадратное уравнение или у2 + 2у - 3 = 0, корни которого у1 = 1 и у2 = -3.

Вернемся к старой переменной. Для этого используем соотношение откуда sin 2x = 1 – y2.

а) Для у = 1 получим уравнение sin 2x = 0, тогда 2x = пn и

б) Для у = -3 получим уравнение sin 2х = -8, которое решений не имеет, так как |sin 2x| ≤ 1.

В ряде случаев при решении уравнений полезно использовать универсальную тригонометрическую подстановку. Она использует формулы (выведите самостоятельно) (где ) и позволяет выражать функции sin x, cos х, tg х через одну и ту же функцию

Пример 8

Решим уравнение

Используем универсальную тригонометрическую подстановку и получим уравнение (где ) или у(у2 + 6) = 0, которое имеет единственный корень у = 0. Вернемся к старой неизвестной и получим уравнение откуда x/2 = πn и х = 2пn, где n ∈ Z.

Пример 9

Решим уравнение

Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой у = tg х и получим уравнение или Перенесем все члены уравнения в левую часть и разложим ее на множители: или (1 - у)у2 = 0. Корни этого уравнения у1 = 1 и у2 = 0.

Вернемся к старой переменной и получим простейшие уравнения:

а) tg х = 1, его решения

б) tg х = 0, его решения

Перейдем к следующему способу решения тригонометрических уравнений.

2. Разложение на множители

Если одну из частей уравнения удается разложить на множители, а другая часть равна нулю, то исходное уравнение сводится к совокупности более простых уравнений.

Пример 10

Решим уравнение sin x + sin 2х + sin 3x = 0.

Сгруппируем члены уравнения: (sin х + sin 3х) + sin 2х = 0 - и преобразуем сумму синусов в произведение: 2sin 2x cosx + sin 2x = 0. Вынесем общий множитель в левой части за скобки и разложим ее на множители sin 2x(2cos x + 1) = 0. Произведение множителей равно нулю, если один из них равен нулю. Получим простейшие уравнения:

a) sin 2х = 0, его решения 2х = пn, где n ∈ Z;

б) 2 cos х + 1 = 0 или cos х = -1/2, его решения

Пример 11

Решим уравнение sin х - cos 3х = 0.

Так как не существует формулы для разности разноименных функций, то с помощью формулы приведения превратим функцию синуса в косинуса: Преобразуем разность косинусов в произведение: Произведение множителей равно нулю, если один из них равен нулю. Получим простейшие тригонометрические уравнения:

a) его решения откуда где n ∈ Z;

б) его решения откуда где k ∈ Z.

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение в ряде задач удобно сочетать с обратным преобразованием про изведения функций в сумму.

Пример 12

Решим уравнение

Прежде всего в каждой части уравнения преобразуем произведение косинусов в сумму функций: После очевидных упрощений получаем: cos 6x = cos 10х. Из правой части уравнения перенесем член в левую часть: cos 6х - cos 10х = 0 и преобразуем разность косинусов в произведение функций: 2 sin 2x sin 8x = 0. Произведение множителей равно нулю, если один из них равен нулю. Получим простейшие уравнения:

a) sin 2х = 0, его решения 2х = пn, откуда , где n ∈ Z;

б) sin 8x = 0, его решения 8х = пk, откуда , где k ∈ Z.

Легко увидеть, что при к = 4n решения включают в себя решения . Поэтому все решения данного уравнения (случаи а и б) можно записать в виде , где k ∈ Z.

Разумеется, при разложении на множители тригонометрического выражения часто используются формулы для функций кратных углов.

Пример 13

Решим уравнение

Используем формулу для синуса двойного аргумента и получим: Вынесем общий множитель за скобки: Произведение множителей равно нулю, если один из них равен нулю. Получим уравнения:

a) cos х = 0, его решения где n ∈ Z;

б) или его решения где k ∈ Z.

3. Понижение степени уравнения

Если в уравнение входят функции в высоких степенях, то полезно использовать формулы понижения степени (очевидно, что уравнение меньшей степени решать проще). Напомним такие формулы: Каждая из этих формул позволяет заменить выражение второй степени на соотношение первой степени и тем самым понизить степень уравнения.

Пример 14

Решим уравнение cos2 2x + cos2 3х = 1.

Используем формулы понижения степени и запишем уравнение в виде или cos 4x + cos 6x = 0. Преобразуем сумму косинусов в произведение: 2 cos 5х cosx = 0. Произведение множителей равно нулю, если один из них равен нулю. Получим простейшие тригонометрические уравнения:

а) cos 5x = 0, его решения откуда

б) cos х = 0, его решения

Пример 15

Решим уравнение

Для этого используем формулы понижения степени: Введем новую неизвестную у = cos 2х и получим алгебраическое уравнение или или или Произведение множителей равно нулю, если один из них равен нулю. Имеем уравнения y = 0 и y2 + 2y + 4 = 0 (это квадратное уравнение корней не имеет, так как его дискриминант отрицательный).

Вернемся к старой неизвестной х. Получим уравнение cos 2х = 0, его решения откуда

Достаточно часто в рассматриваемые уравнения входят симметричные двучлены высокой степени. Разумеется, степень таких двучленов необходимо понизить. Приведем некоторые соотношения, понижающие степень симметричных двучленов:

Пример 16

Решим уравнение

Так как в уравнение входит выражение 2 sinx cosx = sin 2х, to удобно и выражение sin4 х + cos4 х также выразить через функцию sin 2х. Получим уравнение или Сделаем замену y = sin 2x и получим квадратное уравнение 0 = 4у2 - 8у + 3, корни которого у1 = 1/2 и у2 = 3/2.

Вернемся к старой переменной и получим тригонометрические уравнения:

а) sin 2x = 1/2, его решения откуда

б) sin 2x = 3/2, решений нет, так как sin 2х ≤ 1.

4. Введение вспомогательного угла

Этот способ основан на использовании формул для синуса или косинуса суммы {разности) двух углов. Они применяются при решении уравнений a sin x + 6 cos x = с (где а, b, с - некоторые коэффициенты). Изложим суть этого способа.

Разделим обе части уравнения на и получим: Так как выполнены условия то можно считать и (или наоборот). Из этих соотношений можно найти угол φ. Тогда уравнение имеет вид: или Это уравнение является простейшим и имеет решения только при

Пример 17

Решим уравнение

Найдем и разделим все члены уравнения на 2. Получим Будем считать, что и тогда Уравнение принимает вид: или Решения этого уравнения откуда где n ∈ Z.

Заметим, что уравнение a sin х + b cos х = с можно преобразовать и по-другому. Для этого достаточно считать, что и Тогда уравнение имеет вид: или

Пример 18

Решим уравнение

Преобразуем левую часть уравнения. Вычислим и разделим все члены уравнения на Получим: Будем считать, что и тогда а = π/4. Уравнение принимает вид: или Запишем уравнение в виде и преобразуем разность косинусов в произведение: Произведение множителей равно нулю, если один из них равен нулю. Получим два уравнения:

а) его решения и где n ∈ Z;

б) его решения и где k ∈ Z.

5. Ограниченность тригонометрических функций

При решении уравнений этого типа существенным является ограниченность функций синуса и косинуса, т. е. |sin х| ≤ 1 и |cos х| ≤ 1.

Пример 19

Решим уравнение sin 2х - sin 6х + 2 = 0.

Очевидно, что в силу ограниченности функции синуса такое уравнение имеет решение в случае одновременного выполнения равенств Решая уравнения этой системы, получим:

Из этих решений необходимо выбрать общие, т. е. такие, при которых уравнение системы обращается в равенство. Нанесем на числовую ось решения х1 и х2 для нескольких значений n и k. На рисунке видно, что общие решения совпадают с х1. Поэтому решения данного уравнения

Пример 20

Решим уравнение sin8 x + cos23 х = 1.

Оценим слагаемые, входящие в левую часть уравнения:

sin8 х ≤ sin2 х (равенство выполняется в случае sin х = 0; ±1);

cos23 x < cos2 x (равенство выполняется в случае cos x = 0; 1).

Сложим два неравенства одного знака (при этом знак неравенства сохраняется) и получим: sin8 х + cos23 х ≤ sin2 x + cos2 х или sin8 х + cos23 х ≤ 1 (с учетом основного тригонометрического тождества). Таким образом, левая часть данного уравнения не больше 1. Поэтому данное уравнение может выполняться только в двух случаях: Очевидно, что первая система равносильна уравнению cos х = 1 (его решения х = 2 пn, где n ∈ Z), вторая система равносильна уравнению cos х = 0 (его решения где k ∈ Z).

Ограниченность функций синуса и косинуса используется и при решении уравнений с несколькими неизвестными.

Пример 21

Решим уравнение

Преобразуем обе части уравнения. В левой части учтем, что в правой части выделим квадрат разности чисел. Получим уравнение

или или Учтем, что sin x ≤ 1, (у - 2)2 + 1 ≥ 1. Поэтому данное уравнение имеет решения только в случае откуда

6. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции

На экзаменах такие уравнения встречаются значительно реже уравнений, рассмотренных ранее. Их решение, как правило, основано на определении обратных тригонометрических функций и знании их свойств.

Пример 22

Решим уравнение

Так как в уравнение входит только функция arcsin х, то введем новую неизвестную у = arcsin х и получим рациональное уравнение или Корни этого уравнения у1 = π/3 и у2 = π/6. Оба корня входят в область значений функции arcsin х, т. е. Вернемся к старой неизвестной и получим уравнения:

а) arcsin х = π/3, тогда

б) arcsin х = -π/6, откуда

Итак, уравнение имеет два корня:

Пример 23

Решим уравнение

Так как в правую часть уравнения входит функция arccos x, то найдем обратную функцию косинуса от обеих частей приведенного равенства. Получим уравнение или Чтобы упростить левую часть, обозначим а = arctg(2x + 1), тогда tg a = 2x + 1. Вычислим Тогда данное уравнение имеет вид: или или Произведение множителей равно нулю, если один из них равен нулю. Получим: x = 0 или 2x2 + 4x + 3 = 0 (это уравнение корней не имеет, так как дискриминант отрицательный). Итак, уравнение имеет единственное решение x = 0.