Нелинейные уравнения с двумя переменными - РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ - СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель: дать представление о нелинейных уравнениях с двумя переменными.

Планируемые результаты: научиться решать простейшие нелинейные уравнения с двумя переменными.

Тип урока: урок общеметодологической направленности.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Работа по теме урока

В курсе алгебры, помимо линейных уравнений с двумя переменными, рассматриваются и нелинейные уравнения с двумя переменными. К таким уравнениям относят те, в которых хотя бы одна из переменных входит в степени выше первой. Уравнения, содержащие знаки модуля, также будем относить к нелинейным уравнениям.

Пример 1

Нелинейным является уравнение:

а) 2х + |у - 1| = 3, так как содержит модуль величины у - 1;

б) х² + 3х - 7у = 1, так как содержит квадрат величины х;

в) х + у - ху = 5, так как содержит произведение ху — одночлен второй степени.

Количество решений нелинейного уравнения с двумя переменными может быть различным.

Пример 2

Рассмотрим уравнение 2(х - 1)² + 3(у + 2)² = -5. Очевидно, что при любых значениях переменных х и у квадраты величин х - 1 и у + 2 будут неотрицательными. При умножении их на положительные числа 2 и 3 произведения также неотрицательные. Сумма таких неотрицательных величин тоже неотрицательна. Поэтому левая часть данного уравнения при всех значениях переменных х и у неотрицательна и не может равняться отрицательному числу -5, стоящему в правой части. Следовательно, это уравнение решений не имеет.

Пример 3

Рассмотрим уравнение |2х - 3| + |4у - 5| = 0. В соответствии со свойством модуля величины он имеет только неотрицательные значения. Сумма двух неотрицательных выражений также неотрицательна и будет равняться нулю, если каждое из них равно нулю. Получаем уравнения |2х - 3| = 0 и |4у - 5| = 0.

Если модуль величины равен нулю, то и сама величина равна нулю. Получаем два линейных уравнения 2х - 3 = 0 (откуда х = 3/2) и 4у - 5 = 0 (откуда у = 5/4). Итак, данное уравнение имеет единственное решение

Пример 4

Рассмотрим уравнение х⁴ - 2х² + |у - 2| + 1 = 0. Выделим квадрат разности и получим (х⁴ - 2х² + 1) + |у - 2| = 0 или (х² - 1)² + |у - 2| = 0. Выражения (х² - 1)² и |у - 2| неотрицательны. Сумма этих неотрицательных величин будет равняться нулю, если каждое из них равно нулю. Получаем уравнения (х² - 1)² = 0 и |у - 2| = 0 или х² - 1 = 0 и у – 2 = 0 (откуда у = 2).

Для решения первого уравнения разложим его левую часть на множители, используя формулу разности квадратов: (х - 1)(х + 1) = 0. Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, т. е. х - 1 = 0 (откуда х = 1) и х + 1 = 0 (тогда х = -1). Таким образом, данное уравнение имеет два решения: (1; 2) и (-1; 2).

Пример 5

Рассмотрим уравнение 3у + 2х² = 5. Выразим из него неизвестное у и получим 3у = 5 - 2х² или

Очевидно, что для любого выбранного значения х по этой формуле можно найти значение у. Например:

при х = 1 получаем

при х = 2 получаем и т. д.

Итак, мы нашли решения (1; 1), (2; -1). Очевидно, что данное уравнение имеет бесконечно много решений.

Достаточно часто встречаются нелинейные уравнения с параметрами.

Пример 6

При каком значении параметра а уравнение 3ах² + 2у³ + ах + ау = 17 имеет решение (2; 1)?

Так как решение данного уравнения известно, то при его подстановке в уравнение получаем верное равенство 3а ∙ 2² + 2 ∙ 1³ + а ∙ 2 + а ∙ 1 = 17 или 12а + 2 + 2а + а = 17.

Приведем подобные члены и получим 15а + 2 = 17, или 15а = 17 - 2, или 15а = 15, откуда а = 1.

Пример 7

Определим значение параметра а, при котором уравнение 3х² + х - 4у + 6 = 0 имеет решение (а - 1; а + 2), и найдем это решение.

Подставим заданное решение в данное уравнение и получим верное равенство 3(а - 1)² + (а - 1) - 4(а + 2) + 6 = 0, или 3а² - 6а + 3 + а - 1 - 4а - 8 + 6 = 0, или 3а² - 9а = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители: 3а(а - 3) = 0. Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, т. е. а = 0 или а - 3 = 0 (тогда а = 3). Для каждого из двух найденных значений а определим решение данного уравнения, подставив а в решение (а - 1; а + 2). При а = 0 получаем (-1; 2), при а = 3 получаем (2; 5).

Пример 8

При каком значении параметра а решением уравнения 2ах² - 3х² -9у + бау + 6х - 4ах = 0 будет любая пара чисел? Задачу можно решить двумя способами.

1-й способ

По условию решением данного уравнения будет любая пара чисел. Пусть этим решением будет, например, пара чисел (1; 1). Подставим эти числа в уравнение и получим 2а ∙ 1² - 3 ∙ 1² - 9 ∙ 1 + 6а ∙ 1 + 6 ∙ 1 - 4а ∙ 1 = 0, или 2а - 3 - 9 + 6а + 6 - 4а = 0, или 4а - 6 = 0, откуда а = 1,5.

Подставим это значение в уравнение и получим 2 ∙ 1,5х² - 3х² - 9у + 6 ∙ 1,5у + 6х - 4 ∙ 1,5 ∙ х = 0 или 0 ∙ х² + 0 ∙ у + 0 ∙ х = 0.

Очевидно, что любые числа х и у являются решением этого уравнения.

2-й способ

Сгруппируем члены данного уравнения и вынесем общий множитель за скобки. Получаем (2ах² + бау - 4ах) + (-3х² -9у + 6х) = 0, или 2а(х² + 3у - 2х) - 3(х² + 3у - 2х) - 0, или (х² + 3у - 2х)(2а - 3) = 0.

Очевидно, что это произведение будет равно нулю при всех значениях х и у, если второй множитель равен нулю, т. е. 2а - 3 = 0, откуда а = 1,5.

III. Задания на уроке и на дом

1. Решите уравнение с двумя неизвестными:

2. Определите значение параметра а, при котором данное уравнение имеет заданное решение. Найдите это решение.

3. Найдите значение параметра а, при котором данное уравнение имеет заданное решение:

4. Найдите значение параметра а, при котором решением данного уравнения будет любая пара чисел:

IV. Контрольные вопросы

— Какое уравнение называется нелинейным? Приведите примеры.

— Что называется решением нелинейного уравнения с двумя переменными?

— Сколько решений может иметь нелинейное уравнение с двумя переменными?

V. Подведение итогов урока