РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ - РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ЗАНЯТИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДИДАКТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ

Цель: научить учащихся решать олимпиадные задачи.

Основное содержание

1. Знакомимся с основными типами олимпиадных задач.
2. Изучаем основные подходы к решению олимпиадных задач.
3. Учимся решать задачи таких типов:

• задачи на раскрашивание квадратов;
• задачи на расстановку чисел;
• задачи на разрезание фигур;
• задачи на конструкции;
• задачи на объединение и пересечение множеств;
• геометрические задачи;
• текстовые задачи.

Формы, методы и средства

Фронтальная и самостоятельная работа, соревнование в группах.

Проведение занятия

1. Фронтально решаем задания рубрики “Подумаем вместе”.
2. Предлагаем учащимся самостоятельно решить задачи рубрики “Проверь себя”.

В помощь учителю

Ответы и решения к заданиям

Задачи на раскрашивание квадратов

“Подумаем вместе”

1.

2. а) нет, неверно; б) нет, не хватит трех цветов

3.

“Проверь себя”

1.

2. Нельзя, так как общее количество клеток 25 не делится на 2, а каждая костяшка домино покрывает две клетки.
3. Доказательство. Каждая костяшка домино покрывает одно белое и одно черное поле, а при вырезании, например, полей А1 и Н2 черных полей останется на два меньше, чем белых.

Задачи на расстановку чисел

“Подумаем вместе”

3. а) нельзя;

б) можно.

“Проверь себя”

Закрепление изученного

“Проверь себя”

1.

2. Решение. Пусть x — количество городов. Тогда составляем уравнения:

а) x ∙ 4 : 2 = 30,

x = 15;

б) x ∙ 4 : 2 = 100,

x = 50;

в) x ∙ 4 : 2 = 2002,

x = 1001.

Ответ: а) да, в государстве — 15 городов;

б) да, в государстве — 50 городов;

в) да, в государстве — 1001 город.

3. Решение. Предположим, что можно. Так как все числа в таблице нечетные, то сумма пяти нечетных чисел будет нечетной. Поскольку число 50 является четным, то получили противоречие.

Ответ: нельзя.

4.

Задачи на разрезание фигур

“Подумаем вместе”

3. Ответ: 3, 6, 9, 18.

“Проверь себя”

1. Решение. S_□ = 20 ∙ 20 = 400 (см²);

1² + 2² + ... + 10² = 385 (см²) < 400 (см²);

1² + 2² + ... + 9² + 11² = 406 (см²) > 400 (см²).

Ответ: нельзя.

2. Ответ:

Задачи на конструкции

“Подумаем вместе”

1. Частей должно быть не менее двух. С другой стороны, прямоугольник 4x9 можно разрезать на две части, из которых составляется квадрат 6x6. В самом деле, разрежем прямоугольник 4x9 на две части так, как показано на рисунке. Из этих двух частей легко составить квадрат 6x6.

Ответ: на 2 части.

2.

3. Доказательство. Квадрат можно разрезать на n = 6, n = 7, n = 8 меньших квадратов:

Известно, что если квадрат можно разрезать на n квадратов, то его можно разрезать на n + 3 квадратов. Действительно, для этого нужно сначала разрезать квадрат на n меньших квадратов, а затем какой-либо один квадрат из получившихся разрезать на четыре квадрата, как показано на рисунке:

Поэтому квадрат можно разрезать на n = m + 3l квадратов (где m = 6, 7, 8, а l — любое натуральное число), т. е. на любое число квадратов, большее 5.

“Проверь себя”

1. Решение. За первый ход переставим в обратном порядке первые шесть цифр, получим 6, 5, 4, 9, 8, 7, 1, 2, 3. Затем в получившемся наборе переставим в обратном порядке последние шесть цифр, получим 6, 5, 4, 3, 2, 1, 7, 8, 9. Далее в этой последовательности переставим первые шесть цифр, получим 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
2. Решение. Прибавляем к каждому числу первой строки единицу. Эту операцию повторяем еще 11 раз (всего 12 раз прибавляем единицы к каждому числу первой строки). Первая строка теперь выглядит точно так же, как и последняя. 8 раз прибавляем единицы ко второй строке и 4 раза — к третьей. Теперь в каждом столбце у нас одинаковые числа.

Из первого столбца 12 раз вычитаем единицы, из второго — 8, а из третьего — 4.

Ответ: можно.

3. Ответ: можно. Например, 50, 100, 49, 99, 48, 98, 47, 97, ..., 1, 51.
4. -8, +13, -8, -8, +13, -8, начиная с 13-го этажа, и попадешь на 8-й этаж.

Задачи на объединение и пересечение множеств

“Подумаем вместе”

1. А U В = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}, А П В = {6}.
2. Пересечением множества целых чисел с множеством положительных чисел является множество натуральных чисел.
3. Объединение множества положительных четных чисел и множества положительных нечетных чисел есть, очевидно, множество натуральных чисел.
4. Решение. Сначала заметим, что из 30 человек не умеют петь 30 - 17 = 13 (чел.).

Все они умеют танцевать, так как по условию каждый ученик класса поет или танцует. Всего умеют танцевать 19 человек, из них 13 не умеют петь, значит, танцевать и петь одновременно умеют 19 - 13 = 6 (чел.).

Ответ: 6.

5. Решение. В этой задаче три множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:

Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм “Волк и теленок”, пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:

21 - 3 - 6 - 1 = 11 (чел.) — выбрали только “Белоснежку и семь гномов”.

13 - 3 - 1 - 2 = 7 (чел.) — смотрят только “Волк и теленок”.

Получаем:

38 - (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 (чел.) — смотрят только “Губка Боб Квадратные Штаны”.

Делаем вывод, что “Губка Боб Квадратные Штаны” выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 (чел.). Ответ: 17.

6. Решение. Учитывая условия задачи, чертеж будет таков:

Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги — Гермиона, то 11 - 4 - 2 = 5 (кн.) — прочитал только Гарри. Следовательно,

26 - 7 - 2 - 5 - 4 = 8 (кн.) — прочитал только Рон.

Ответ: 8.

“Проверь себя”

1. Решение. Изобразим множества следующим образом:

70 - (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 (чел.) — не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. Только спортом заняты 5 человек.

Ответ: 19 и 5.

2. Решение.

Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общую часть кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде.

Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10 - 3 = 7 (чел.). Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 - 3 = 5 (чел.), а только на сноуборде и на роликах — 5 - 3 = 2 (чел.). Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеет кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5 + 3 + 2 = 10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах — 30 ребят. Таким образом, 20 + 13 + 30 + 5 + 7 + 2 + 3 = 80 (чел.) умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. По условию задачи всего 100 ребят. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

Ответ: 20.

Геометрические задачи

“Подумаем вместе”

1. Решение. Наклонять до тех пор, пока не увидим точку дна. В стакане останется ровно половина.
2. Решение. Это могло получиться, если в первом случае разрезы не пересекались, а во втором — пересеклись. Например, если в первом случае они были параллельны друг другу, а во втором — перпендикулярны.
3. Решение. Необходимо сначала положить один за другим три кирпича, а затем убрать тот, который лежит посередине, и измерить расстояние между соответствующими вершинами двух оставшихся кирпичей.
4. Решение. Если постараться, из арбуза можно вырезать кусок в виде столбика, идущего сквозь весь арбуз. У этого куска будут две корки, соединенные арбузной мякотью. Когда его съедят, останется две корки. А оставшуюся часть арбуза можно как угодно разрезать на три части, от них останется еще три корки.

5.

6. Решение.

Больше будет закрытая часть, так как S₁ = S₂, S₃ = S₄.

Текстовые задачи

“Подумаем вместе”

1. Решение. Пусть сегодня половина озера покрылась цветами. Через сколько дней покроется все озеро? Завтра. И это будет 20-й день.

Ответ: за 19 дней.

2. Решение. Поскольку кузнечик вернулся в исходную точку, количество прыжков влево равно количеству прыжков вправо, поэтому общее количество прыжков четно.
3. Решение. Из двух сцепленных шестеренок одна вращается по часовой стрелке, а другая — против. Тогда первая и девятая шестеренки вращаются в одну сторону и сцепленными быть не могут. А сцепленные по кругу шестеренки могут вращаться, только если их количество четно.
4. Решение. Каждый тройник, занимая одну розетку, располагает тремя розетками. Значит, можно считать, что использование одного тройника прибавляет к имеющимся пяти розеткам еще две. Поэтому, независимо от порядка включения тройников, число электроприборов, которые можно будет включить в сеть, составит 5 + 13 ∙ 2 = 31.

Ответ: 31.

5. Решение. В комплекте домино существует 7 костей с пятеркой: 5—пусто, 5—1, 5—2, 5—3, 5—4, 5—5, 5—6. А всего пятерок 8 (4 пары). По правилам игры можно класть рядом только кости с одинаковыми числами, т. е. цепочка состоит из пар одинаковых чисел. Значит, если на одном конце оказалась пятерка, то на другом конце может быть только “парная” ей пятерка.
6. Решение. Запись (22, 14, 12) → (8, 28, 12) означает, что из первой кучки переложили во вторую 14 орехов. Тогда все решения запишем так:

(22, 14, 12) → (8, 28, 12) → (8, 16, 24) → (16, 16, 16).

7.

7-литровый сосуд	0	5	5	7	0	3	3	7	0	1	1	6
5-литровый сосуд	5	0	5	3	3	0	5	1	1	0	5	0

“Проверь себя”

1. Решение. Составим таблицу переливаний:

3-литровый сосуд	0	3	2	2	3
5-литровый сосуд	5	2	0	5	4

2. Решение. Составим таблицу:

9-литровый сосуд	0	9	0	2	2	9	0	4	4	9	0	6	6	9	0	8	8	9
11-литровый сосуд	11	2	2	0	11	4	4	0	11	6	6	0	11	8	8	0	11	10

3. Решение. Составим таблицу:

4-литровое ведро	0	4	0	4	0	1	1	4	0
9-литровое ведро	9	5	5	1	1	0	9	6	6

4. Решение. Составим таблицу:

9-литровый сосуд	9	4	1	4
5-литровый сосуд	0	5	5	5
3-литровый сосуд	0	0	3	0

На предпоследнем этапе переливаний в 9-литровом сосуде содержится 1 л воды, а на последнем этапе в 9-литровом сосуде — 4 л воды.

5. Решение. Составим таблицу:

6-ведерный бочонок	4	4	6	2	2	5
3-ведерный бочонок	0	3	1	1	3	0
7-ведерный бочонок	6	3	3	7	5	5

Олимпиада по математике

“Проверь себя”

1. Ответ: не может.

Если произведение нечетное, то каждое из чисел должно быть нечетным, а в сумме они должны давать 98. Но сумма 19 нечетных чисел всегда нечетная, и поэтому не может быть равна 98. Следовательно, произведение этих чисел не может быть нечетным числом.

2. Решение. Соединяем концы ленты и делим ее на две равные части. Повторяем эту операцию еще три раза. Лента разделилась на 16 частей, каждая длиной 144 : 16 = 9 (см). Осталось отрезать от ленты три такие части: 9 ∙ 3 = 27 (см).
3. Решение.
4. Ответ: 10 клеток.
5. Решение. Пусть 735 учащихся будут “зайцами”. Тогда “клетками” будут дни года, их 366. Так как 366 ∙ 2 = 732 > 735, то по принципу Дирихле найдется как минимум три ученика, которые отмечают день своего рождения в один и тот же день.
6. Ответ: 1.

Решение.

a	b
c	d

Заметим вначале следующее. Пусть какой-либо прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника с периметрами a, b, c и d. Тогда сумма a + d равна сумме b + c, поскольку и первая, и вторая суммы равны периметру большого прямоугольника.

Вследствие установленного правила:

6 - х	4	7 - x
2	х	3
7 - x	5	8 - х

По условию периметр х — натуральное число, отличное от 2, 3, 4 и 5.

Кроме того, х < 6. Значит, единственно возможное значение х = 1.