Решение систем линейных уравнений методом Крамера - ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Рассмотрим систему линейных уравнений, у которой число неизвестных n равно числу уравнений m.

Определитель матрицы такой системы |A| называется определителем системы линейных уравнений.

Допустим, что определитель рассматриваемой системы не равен нулю. Тогда система имеет единственное решение, которое определяется по формулам

где определители ∆1, ∆2, ∆3, ..., ∆n получаются из определителя системы линейных уравнений путем замены соответствующего столбца столбцом правых частей

Пример. Решим методом Крамера систему линейных уравнений

Вычислим определители, необходимые для нахождения решения системы. Определитель системы ∆ вычислим, разложив его по элементам первой строки.

Определители ∆1, ∆2, ∆3 вычислим, разлагая их, соответственно по элементам первого, второго и третьего столбцов. Эти столбцы содержат нулевой элемент, и поэтому разложение определителей по указанным столбцам будет более простым.

Тогда

Если определитель системы ∆ равен нулю и хотя бы один из определителей ∆1, ∆2, ∆3, ..., ∆n отличен от нуля, то данная система линейных уравнений не имеет решения.

Если определитель системы ∆ равен нулю и все определители ∆1, ∆2, ∆3, ..., ∆n тоже равны нулю, то система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений.

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений:

В этом случае все определители ∆1, ∆2, ∆3, ..., ∆n будут равны нулю, так как каждый из них будет содержать один нулевой столбец. И если определитель системы ∆ не равен нулю, то система будет иметь лишь нулевое (тривиальное) решение:

Если определитель системы ∆ = 0, то система будет иметь бесконечное множество решений, среди которых будут и ненулевые.