Наибольшее и наименьшее значение функции - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Рассмотрим функцию f(x), определенную на отрезке [а, b]. Если f(x) непрерывна на данном отрезке, то она достигает на нем своих наименьшего и наибольшего значений. Для нахождения наибольшего и наименьшего значения на отрезке [а, b] используется следующий алгоритм.

1. Определяются точки, принадлежащие отрезку [а, b], в которых производная функция либо равна нулю, либо не существует.

2. Вычисляются значения функции в указанных выше точках и в граничных точках рассматриваемого отрезка х = а и х = b.

3. Из вычисленных значений функции выбираются наибольшее и наименьшее, которые и будут, соответственно, наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке [а, b].

Пример. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [1, 5].

Найдем производную функции:

Производная обращается в ноль в точках х = -3 и х = 3, производная не существует в точке х = 0. Из указанных точек рассматриваемому интервалу принадлежит лишь точка х = 3. Вычислим значения функции в этой точке, а также в граничных точках интервала х = 1 и х = 5:

Таким образом, наибольшее значение функции равно 13 и достигается в точке х = 1, а наименьшее значение равно 9 и достигается в точке х = 3.