Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей - Краткий теоретический справочник

Элементы комбинаторики.

Множество (совокупность элементов) называется занумерованным, если каждому элементу этого множества сопоставлено своё натуральное число (номер) от 1 до n. Для краткости занумерованные множества далее будут называться наборами.

Число перестановок. Отличающиеся друг от друга порядком наборы, составленные из всех элементов данного конечного множества, называются перестановками этого множества.

Число всех перестановок множества из п элементов обозначается Р_n и определяется по формуле Р_n = n!, где n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ n.

Число размещений. Упорядоченные наборы, состоящие из k различных элементов, выбранных из данных n элементов, называются размещениями из n элементов по k. Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и порядком.

Число всех размещений из n элементов по k обозначается А_n^k и определяется по формуле

Число сочетаний. Неупорядоченные наборы, состоящие из k элементов, взятых из данных n элементов, называются сочетаниями из n элементов по k. Сочетания отличаются друг от друга только элементами.

Число сочетаний из п элементов по к обозначается С_n^k и определяется по формуле

Случайные события и их вероятности.

Опытом, или испытанием, называют всякое осуществление комплекса условий или действий, при которых наблюдается соответствующее явление. Возможный результат опыта называют событием.

Случайным называется событие, которое в данном опыте может произойти, а может и не произойти.

Событие называют достоверным в данном опыте, если оно обязательно произойдёт в этом опыте. Событие называется невозможным в данном опыте, если оно в этом опыте произойти не может.

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого в этом опыте, и несовместными, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании.

Два события называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого.

События считают равновозможными, если нет оснований полагать, что одно событие является более возможным, чем другие.

Суммой, или объединением, двух событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Сумма двух событий А и В обозначается А + В. Аналогично определяется и обозначается сумма n событий

Эта сумма означает событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из них.

Произведением, или пересечением, двух событий называется событие, состоящее в одновременном их появлении. Произведение двух событий А и В обозначается через АВ. Произведение n событий

означает событие, состоящее в появлении всех событий A₁, А₂, ..., А_n.

Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что наступает событие А и не происходит событие В. Разность событий принято обозначать А — В.

Если при каждом осуществлении комплекса условий, при котором происходит событие А, происходит и событие В, то говорят, что А влечёт за собой В, или А является частным случаем В, и обозначается А ⊂ В. Если А ⊂ В и В ⊂ А, то говорят, что А и В равносильны: А ≡ В.

Вероятность события.

Классическое определение вероятности. Вероятность события А определяется формулой

Р(А) = m/n,

где n — число всех равновозможных элементарных исходов опыта, m — число элементарных исходов, благоприятствующих событию А.

Статистическое определение вероятности. Относительная частота события А (или просто частота) определяется формулой

W(A) = m/n,

где m — число опытов, в которых появилось событие А, n — число всех проведенных опытов.

Вероятность Р(С) наступления хотя бы одного из двух несовместных событий А и В равна сумме их вероятностей:

Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Вероятность противоположного события событию А:

Элементы статистики.

Математическая статистика — наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Мода — значение признака, имеющее наибольшую частоту в статистическом ряду распределения.

Среднее арифметическое (или просто среднее) набора чисел — это сумма всех чисел в этом наборе, делённая на их количество.

Медиана — это такое значение признака, которое разделяет ранжированный (упорядоченный) ряд распределения на две равные части. Для нахождения медианы нужно отыскать значение признака, которое находится на середине упорядоченного ряда.