Решение задач по материалу главы XII - ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ПЛОЩАДЬ КРУГА

Цели: закрепить знания и умения учащихся по изученному материалу главы; подготовить учащихся к контрольной работе.

Ход уроков

I. Математический диктант (15 мин).

Вариант I

1. Площадь круга равна S. Найдите длину ограничивающей его окружности.

2. Найдите длину дуги окружности радиуса 9 м, если градусная мера дуги равна 120°.

3. Длина дуги окружности равна 3π, а ее радиус равен 8. Найдите градусную меру этой дуги.

4. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами 13 и 12 см.

5. Найдите площадь кругового сектора радиуса 4 см, если его центральный угол равен 45°.

6. Площадь кругового сектора равна 18π м2, а его центральный угол равен 40°. Найдите радиус сектора.

Вариант II

1. Длина окружности равна С. Найдите площадь ограниченного ею круга.

2. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами 25 и 24 см.

3. Найдите площадь кругового сектора радиуса 3 см, если его центральный угол равен 20°.

4. Площадь кругового сектора равна 10π м2, а его радиус равен 6 м. Найдите центральный угол сектора.

5. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 дм, если ее градусная мера равна 120°.

6. Найдите радиус окружности, если длина дуги окружности равна 6π, а ее градусная мера равна 60°.

 

II. Решение задач.

1. Решить задачу 1. Докажите, что площадь S треугольника АВС вычисляется по формуле.

,

где Р – периметр треугольника, r – радиус вписанной окружности.

Доказательство

Пусть О – центр окружности, которая вписана в треугольник АВС и, следовательно, касается сторон треугольника в точках М, N и K.

Очевидно, что S = SАОС + SВОС + SАОВ. *

Так как ОМ, ОN и ОK – высоты треугольников АОС, ВОС и АОВ, то SАОС = АС · ОK, SВОС = ВС · ОМ и SАОВ = АВ · ОN.

Подставив эти значения в формулу *, получим: S =(AB + BC + CA) · r =P · r.

2. Решить задачу 2. даны стороны треугольника АВС – а, b, с и площадь S. Выразить радиусы окружностей, описанной около треугольника и вписанной в него, через а, b, с и S.

Решение

1) Используем результат задачи 1:

S =Pr, где Р – периметр треугольника, r – радиус вписанной окружности. Р = а + b + с; 2S = r (а + b + c), отсюда:

2) Радиус R описанной окружности вычисляется по формуле: R =, где  – угол, противолежащий стороне а.

Из формулы: S =bc · sin  получим sin  =, тогда 2sin  =. Следовательно, R =.

3. Решить задачу № 1099 на доске и в тетрадях.

Решение

Диагонали А3А7 и А4А8 четырехугольника А3А4А7А8 являются диаметрами окружности, в которую вписан данный восьмиугольник, поэтому они равны и точкой пересечения О делятся пополам. Следовательно, четырехугольник А3А4А7А8 – прямоугольник. Так как угол А3ОА4 = 45°, то согласно задаче 1059 площадь прямоугольника равна R2.

4. Решить задачу № 1105 (в) (объясняет учитель).

Решение

Пусть АВС – данный треугольник, угол С = 90°, угол В = , АВ = с, ВС = а, СА = b; Р = а + b + с, r – радиус вписанной окружности. Тогда а = с · cos , b = c · sin .

Воспользуемся двумя формулами для вычисления площади S треугольника АВС (метод площадей):

. Отсюда, получаем, r =, поэтому C = 2πr =.

Умножив числитель и знаменатель дроби на cos  + sin  – 1, после несложных преобразований получаем: c = πc (sin  + cos  – 1).

5. Решить задачу № 1117 (в).

решение

Применим метод площадей, то есть воспользуемся двумя формулами для вычисления площади треугольника:

S =ab sin  и S =Pr, где а и b – длины сторон треугольника,  – угол между ними, Р – периметр, r – радиус вписанной окружности. Получим: S =a2 sin  и S = r · а.

Отсюда находим r, а затем площадь круга: Sкруга = .

6. Решить задачи № 1110, 1138, 1116 (в).

Примечание. решения некоторых из них полезно предварительно обсудить, а затем записать в тетрадях, остальные задачи учащиеся могут решить самостоятельно с последующей проверкой ответов или решений.

III. Проверочная самостоятельная работа.

Вариант I

Решить задачи №№ 1125, 1129 (в), 1132 (а), 1134 (а).

Вариант II

Решить задачи №№ 1128, 1129 (г), 1132 (б), 1134 (б).

IV. Итоги уроков.

Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе, повторив материал пунктов 105–112 и ответив на вопросы 1–12, с. 290 учебника; решить задачи №№ 1104 (г, д), 1105 (б), 1116 (в).