Уроки-конспекты по Геометрии 8 класс
ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ И РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ - урок 6
Цель: закрепить умение решения задач на построение методом подобия.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
Рассмотреть решение задач № 586, № 587.
II. Анализ самостоятельной работы.
III. Решение задач.
№ 590.
Решение
Дано:
Построить: АВС, С = 90°, АВ = PQ, .
Анализ. Задачу будем решать методом подобия. Сначала можно построить какой-нибудь прямоугольный треугольник АВ1С1 (С1 = 90°) так, чтобы , а затем, используя условие АВ = PQ, построить искомый треугольник АВС.
Построение.
1. Строим треугольник АВ1С1 так, чтобы С1 = 90°, С1А = Р1Q, С1В1 = Р2Q2 (п. 38, зад. 1).
2. На луче АВ1 отложим отрезок АВ = РQ.
3. Через точку В проведем прямую, параллельную В1С1. Она пересекает луч АС1 в точке С. Треугольник АВС – искомый.
Доказательство.
АВС А1В1С1 по первому признаку подобия треугольников (А – общий, С = С1, так как ВС || В1С1), поэтому С = 90°, .
Сторона АВ равна данному отрезку PQ по построению. Итак, треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи.
Исследование.
Из построения следует, что задача при любых данных отрезках PQ, Р1Q1 и P2Q2 имеет решение. Задача имеет единственное решение. В самом деле, если А1В1С1 и А2В2С2 удовлетворяют условиям задачи, то они подобны, а так как А1В1 = РQ, А2В2 = РQ, то А1В1 = А2В2 и, значит, А1В1С1 = А2В2С2.
№ 622.
Дано: АВС.
Построить А1В1С1 : = 2SАВС и А1В1С1 АВС.
Построение.
1) Построим АВF так, чтобы АВ ВF и BF = АВ (как описано в задаче № 290).
2) Построим АCЕ так, чтобы СЕ АС и СЕ = АС аналогично.
3) На лучах АВ и АС отложим соответственно отрезки АВ1 = AF и АС1 = АЕ.
4) Проведем отрезок В1С1.
5) Тогда АВ1С1 – искомый.
Доказательство.
1) По теореме Пифагора
2) По построению AB1 = AF = AB.
AC1 = AE = AC.
3) .
4) А1В1С1 АВС (по второму признаку).
5) = 2.
Поэтому АВ1С1 удовлетворяет всем условиям задачи.
IV. Самостоятельная работа.
Вариант I
Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и медиане, проведенной из вершины этого угла.
Вариант II
Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и биссектрисе прямого угла.
Вариант III
(для наиболее подготовленных учащихся)
Постройте ромб по стороне и данному отношению 3 : 4 его диагоналей.
V. Итоги урока.
Домашнее задание: вопросы 8–12 на с. 160–161; № 588, прочитать п. 65.
№ 588.
Дано: А, , AM – медиана.
Построить: ΔАВС.
Построение.
1) На произвольной прямой отметим произвольно точку А и отложим А.
2) Пусть а – произвольный единичный отрезок.
3) На сторонах А отложим отрезки АВ1 = 2а и АС1 = 3а.
4) Проведем В1С1 и разделим его пополам точкой О.
5) Проведем луч АО и отложим отрезок АМ.
6) Через точку М проведем прямую b || B1C1; точки пересечения со сторонами угла А обозначим В и С.
7) АВС – искомый.
Доказательство.
1) АВС АВ1С1 (A – общий, AВ1С1 = AВС, как соответственные при ВС || B1C1 и секущей АВ).
2) .
3) Аналогично доказывается, что = 1.
4) Полученный АВС – искомый, так как АМ – медиана, по доказанному.