Повторение. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 10-11 КЛАССОВ

Цели урока:

- организовать повторение основных теоретических фактов по заданным темам;

- совершенствовать навыки решения задач.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация опорных знаний учащихся

Теоретический опрос.

1. Определение перпендикулярности прямой и плоскости.

2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Двугранный угол.

4. Определение перпендикулярности плоскостей.

5. Признак перпендикулярности двух плоскостей.

6. Свойства прямоугольного параллелепипеда.

Проверка домашнего задания.

Задача № 143.

Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного ΔАВС равно 4 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости ABC, если АВ = 6 см.

Дано: ΔАВС - правильный, М ∈ ABC АВ = 6 см, АМ = ВМ = СМ = 4 см (рис. 1).

Найти: ρ(М, пл. ABC).

Решение: Проводим МО ⊥ пл. ABC, соединим точку О с А, В, С. Равные наклонные имеют равные проекции, поэтому АО = ОВ = ОС = R, где R - радиус окружности, описанной около ΔАВС. По теореме синусов Из прямоугольного ΔАОМ: ρ(М, пл. ABC): (Ответ: 2 см.)

Задача № 149. Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного ΔАВС. Известно, что АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см, AD = 12 см. Найдите расстояние от концов отрезка AD до прямой ВС.

Дано: ΔАВС, АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см, AD ⊥ пл. ABC, AD = 12 см (рис. 2).

Найти: S (D; ВС); S (А, ВС).

Решение:

1) Проведем AE ⊥ BC, в равнобедренном ΔАВС АЕ - высота и медиана, ВЕ = ЕС = 3 см. По теореме Пифагора из ΔСЕА:

2) Соединим точки D, Е. ВС ⊥ АЕ - по построению; ВС ⊥ DA - по условию ⇒ по теореме о трех перпендикулярах BC ⊥ DE.

3) ΔDEA - прямоугольный, по теореме Пифагора (Ответ: 4 см, 4√10 см.)

Решение задач по готовым чертежам

1. Дано: KLMN - тетраэдр, все ребра его равны. Точка О - середина ребра MN (рис. 3).

Доказать: ∠KOL - линейный угол двугранного угла LNMK.

Доказательство:

1) ΔKMN - равносторонний, КО - медиана, следовательно, KO ⊥ MN.

2) ΔLMN - равносторонний, LO - медиана, следовательно LO ⊥ MN.

3) По определению линейного угла, ∠KOL - линейный угол двугранного угла LNMK.

2. Дано: ABCD - ромб, ∠A = 60°, АВ = m, BE ⊥ ABC, (рис. 4).

Найти: угол между плоскостями ADE и ABC.

Решение:

1) ВН - высота ромба ABCD, EH ⊥ AD (по теореме о трех перпендикулярах). Значит, ∠EHB - линейный угол двугранного угла EADB.

2) ΔВНА:

3) ΔЕВН: (Ответ: 45°.)

III. Решение задач

№ 1. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, ABC — правильный треугольник, (рис. 5).

а) Докажите: грань ВВ1С1С - прямоугольник.

б) Вычислите площадь грани АА1В1В.

в) Вычислите площадь полной поверхности.

г) Составить план вычисления объема призмы.

Решение:

а) Построим из вершины А1 перпендикуляр к плоскости А ВС - A1O и перпендикуляры к прямым АВ и АС - А1М и A1N соответственно. Тогда ОМ - проекция А1М, ON - проекция A1N на плоскость ABC. По теореме о трех перпендикулярах ОМ ⊥ AВ, ON ⊥ AC. ΔА1МА = ΔА1NA (по гипотенузе и острому углу). Значит, ON = ОМ, т. е. точка О - равноудалена от сторон АВ и АС, и значит лежит на биссектрисе AD. Так как ΔАВС - равносторонний, то AD ⊥ BC, АО - проекция АА1, на плоскость ABC. По теореме о трех перпендикулярах AA1 ⊥ BC, а значит, ВВ1 ⊥ BС, СС1 ⊥ BС, т. е. ВВ1С1С - прямоугольник.

б) АА1В1В - параллелограмм.

в) ВВ1С1С - прямоугольник, значит,

г) Из ΔАМА1 найдем АM и A1M; из ΔАОМ найдем ОМ; из ΔА1ОМ найдем A1O. Зная высоту A1O n Sосн. найдем объем.

№ 2. Основанием пирамиды МАВС является равносторонний ΔАВС со стороной а. Грань МАВ - равнобедренный треугольник, плоскость которого перпендикулярна плоскости основания пирамиды. (рис. 6).

Найти: углы наклона боковых граней пирамиды к ее основанию.

Решение:

1) Высоты ΔАМВ и ΔАВС, проведенные из М и С, являются медианами, поэтому пересекаются в точке D. ∠MDC = 90° - линейный угол данного двугранного угла МАВС.

2) Проведем DK ⊥ AC, то AC ⊥ MK (по теореме о трех перпендикулярах). ∠MKD - линейный угол двугранного угла МАВС.

3) Из ΔMAD: Из ΔAKD: Из ΔMKD: (Ответ: 90°, 45°, 45°.)

№ 3. Через образующую цилиндра проведены два сечения. Одно из них является осевым сечением цилиндра, его площадь равна 48 см2. Угол между плоскостями сечений 60°. Вычислить площадь второго сечения (рис. 7).

Решение: ΔABC - прямоугольный, т. к. АВ - диаметр; ∠ABC = 60° (по условию). Значит, (Ответ: 24 см2.)

IV. Подведение итогов

- Назовите необходимые условия перпендикулярности двух плоскостей.

Домашнее задание

Повторить гл. И, № 212, 216.