Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Цели урока:

1) закрепить вопросы теории по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»;

2) выработать навыки решения основных типов задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему и план урока.

II. Актуализация знаний учащихся

1) Теоретический опрос.

Сформулировать и доказать теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости (подготовиться у доски одному из учащихся, затем заслушать его ответ всем классом).

2) Индивидуальные письменные задания:

- доказать теорему о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей (1 ученик);

- доказать теорему, устанавливающую связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости (1 ученик);

- доказать теорему, обратную к теореме, устанавливающей связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости (1 ученик);

- доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости (1 ученик).

3) Самостоятельное решение задач по готовым чертежам с последующей проверкой и обсуждением по необходимости.

I уровень: № 1, 2, 5.

II уровень: № 3, 4, 6.

Точка М лежит вне плоскости ABC.

1. Рис. 1. Доказать: прямая АС перпендикулярна плоскости АМВ.

2. Рис. 2. BMDC - прямоугольник. Доказать: прямая CD перпендикулярна плоскости ABC.

3. Рис. 3. ABCD - прямоугольник. Доказать: AD ⊥ АМ.

Решение к задачам 1-6.

4. Рис. 4. Доказать: ВС ⊥ DE.

5. Рис. 5. ABCD - параллелограмм. Доказать: прямая МО перпендикулярна плоскости ABC.

6. Рис. 6. ABCD - ромб. Доказать: прямая BD перпендикулярна плоскости АМС.

№ 1

Доказательство:

AC ⊥ АВ (по условию), AC ⊥ AM (по условию).

(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

№ 2

Доказательство:

Так как BMDC - прямоугольник, то ∠MBC = 90°, значит,

MB ⊥ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

MB || DC (по свойству сторон прямоугольника). Следовательно, DC ⊥ (ABC) (по теореме о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости).

№ 3

Доказательство:

1) Так как ABCD - прямоугольник, то ∠ABC = 90°, значит, ВС ⊥ АВ, АВ ⊂ (АВМ)

ВС ⊥ (АМВ) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

2) BC || AD (по свойству сторон прямоугольника). Следовательно, AD ⊥ (AMB) (по теореме о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости).

3) AD ⊥ AM (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

№ 4 (рис. 7)

Доказательство: Так как ΔСМВ - равнобедренный (по условию) и MD - высота, то MD - медиана (по свойству высоты равнобедренного треугольника).

Значит, CD = BD (по определению медианы).

1) Так как ΔAВС - равнобедренный (по условию) и AD - медиана (по определению), то AD высота (по свойству медианы равнобедренного треугольника). Значит, ВС ⊥ AD.

2) ВС ⊥ (AMD) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

3) ВС ⊥ DE (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

№ 5

Доказательство:

1) AC ∩ BD = О; АО = ОС, ВО = OD (по свойству диагоналей параллелограмма).

2) ΔBMD - равнобедренный (по условию) и МО - медиана (по определению), значит, МО - высота (по свойству медианы равнобедренного треугольника).

Следовательно, МО ⊥ BD.

3) В ΔАМС: МО ⊥ АС (доказывается аналогично п. 2).

4) МО ⊥ (AВС) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

№ 6 (рис. 8)

Доказательство: AC ⊥ BD и АО = ОС, ВО = OD (по свойству диагоналей ромба). ΔBMD - равнобедренный (по условию) и МО - медиана (по определению), значит, МО высота (по свойству медианы равнобедренного треугольника).

Следовательно, МО ⊥ BD.

(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

III. Решение задач

Решение письменно на доске и в тетрадях задачи № 130 (подробное решение в учебнике), № 134 (с помощью учителя), к доске вызвать сильного ученика.

№ 130

(Прежде чем приступать к решению задачи, повторить понятия: расстояние между двумя точками и расстояние от точки до прямой. Сформулировать определения этих понятий.)

Дано: ABCD - квадрат; MB - прямая (рис. 9).

Найти: а) МА, MD, МС; б) ρ (М; АС), ρ (М; BD).

Решение:

1) АВ = ВС = CD = AD = n (по свойству сторон квадрата).

2) ΔАВМ и ΔСВМ - прямоугольные, так как ∠MBA = ∠МВС = 90°.

По теореме Пифагора: Получим,

3) Так как BD - диагональ квадрата, то

4) Так как ∠MBA = ∠MBC = 90°, т.

MB ⊥ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Значит, MB ⊥ BD, BD ⊂ (ABC) (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

5) ΔMBD - прямоугольный (т. к. MB ⊥ BD, то ∠MBD = 90°). По теореме Пифагора:

6) ρ (M; BD) = MB (по определению расстояния от точки до прямой). Значит, ρ (М; BD) = m.

7) АО = ОС, ВО = OD (по свойству диагоналей квадрата). Так как то ΔAMC - равнобедренный (по определению) и МО - медиана (по определению), значит, МО - высота (по свойству медианы равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию). Следовательно, МО ⊥ АС.

8) ΔМВО - прямоугольный (так как MB ⊥ BD, то ∠MBO = 90°). По теореме Пифагора: МO2 = ВO2 + ВM2.

9) МО = ρ (М; АС) (по определению расстояния от точки до прямой). (Ответ: )

№ 134

(Учитель должен сформулировать идею решения задачи, если это необходимо.)

Дано: (рис. 10).

Доказать: b ⊂ α. (В ходе решения задачи учащимися следует задавать наводящие и уточняющие вопросы.)

Доказательство:

Предположим, что b ⊄ α (Что определяют две пересекающиеся прямые?)

По теореме о плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые, существует плоскость β, проходящая через прямые а и b. (Каково взаимное расположение плоскостей α и β?) Так как (по определению прямой перпендикулярной плоскости). Получим, противоречие. Значит, b ⊂ α.

IV. Подведение итогов

Домашнее задание

1) Повторить материалы § 1, с. 34-38.

2) Решить задачи: № 129, 136.

Дополнительная задача

Дан ΔABC, АВ = АС = ВС, CD ⊥ (ABC), AM = MB, DM = 15, CD = 12. Найти площадь ΔADB.