Задачи на построение сечений - урок 2 - ТЕТРАЭДР. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД - ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Цель урока:

- выработать навыки решения задач на построение сечений параллелепипеда.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания

Вопрос: Какие многоугольники могут получиться в сечении

а) тетраэдра; б) параллелепипеда? Ответ: а) треугольники и четырехугольники; б) треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники. № 104, 106 (решение см. в плане урока № 20).

III. Изучение нового материала

Задача № 3

На ребрах параллелепипеда даны три точки А, В, С. Построить сечение параллелепипеда плоскостью ABC.

Решение:

Построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах параллелепипеда лежат точки А, В, С. В самом простом случае, когда эти точки лежат на ребрах, выходящих из одной вершины (рис. 1 а), нужно провести отрезки АВ, ВС, СА, и получится искомое сечение - треугольник ABC. Если три точки А, В, С расположены так, как показано на рис. 1 б, то сначала нужно провести отрезки АВ и ВС, а затем через точку А провести прямую, параллельную ВС, а через точку С - прямую, параллельную АВ. Пересечения этих прямых с ребрами нижней грани дают точки Е и D. Остается провести отрезок ED, и искомое сечение - пятиугольник ABCDE.

Более трудный случай, когда данные точки А, В, С расположены так, как показано на рис. 1 в. В этом случае поступим так. Сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Для этого проведем прямую АВ и продолжим нижнее ребро, лежащее в той же грани, что и прямая АВ, до пересечения с этой прямой в точке М. Далее через точку М проведем прямую, параллельную прямой ВС. Эго и есть прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Эта прямая пересекается с ребрами нижнего основания в точках Е и F. Затем через точку Е проведем прямую, параллельную прямой АВ, и получим точку D. Наконец, проводим отрезки AF и CD, и искомое сечение - шестиугольник ABCDEF - построено.

IV. Работа у доски

- первый ученик:

Задача 79

а) Решение: плоскость ВВ1С1С || AA1D1 по свойству параллелепипеда, отсюда ВС1 || AA1D1. Точка А общая для плоскостей ABC1 и AA1D1 - плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку А и параллельной ВС1. (Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны), очевидно, это AD1. Искомое сечение - четырехугольник ABC1D1.

Доказательство: АВ || CD (так как ABCD - параллелограмм). АВ = CD (так как ABCD - параллелограмм). CD || C1D1 (так как CDD1C1 - параллелограмм). CD - C1D1 (так как CDD1C1 - параллелограмм).

Отсюда следует, что АВ || C1D1. Значит, ABC1D1 - параллелограмм, так как его противоположные стороны параллельны и равны.

- второй ученик:

Задача 8.

Решение:

а) Сечение плоскостью АВС1. Плоскость ВВ1C1 || AA1D1 по свойству параллелепипеда, отсюда ВС1 || AA1D1D. Тогда А - общая точка для плоскостей АВС1 и AA1D1 - плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку А и параллельной ВС1. (Свойство см. в предыдущей задаче). Плоскости граней AA1B1B и DD1C1C пересечены плоскостью АВС1, значит, их линии пересечения параллельны, АВ || C1D1.

Вывод: плоскость пересекает грань AA1D1D по прямой AD1 AD1 || ВС1. Искомое сечение ABC1D1 параллелограмм по определению.

б) Сечение плоскостью DCB1. Точка D - общая для плоскостей DCB1 и AA1D - плоскости пересекаются по прямой DA1, (свойство 1 из п. 11). В плоскости грани AA1D1D проводим такую прямую. Это будет DA1 (четырехугольник DCB1A1 - параллелограмм, поэтому DA1 || СВ1), искомое сечение DCB1A1.

в) PQ - отрезок, по которому пересекаются построенные сечения (Р принадлежит плоскости сечений и Q принадлежит плоскостям сечений, PQ - линия пересечения плоскостей), где Р и Q - центры граней AA1D1D и BB1C1C.

V. Работа по карточкам (S учащихся работают по карточкам самостоятельно, один у доски).

Карточка № 1

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три данные точки, являющиеся серединами его ребер (три данные точки на рисунке выделены). Найти периметр сечения, если ребро куба равно а (рис. 3).

Карточка № 2

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три данные точки, являющиеся вершинами куба (три данные точки на рисунке выделены). Найти периметр сечения, если ребро куба равно а (рис. 4).

Карточка № 3

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три данные точки, являющиеся либо вершинами куба, либо серединами его ребер (три данные точки на рисунке выделены). Найти периметр сечения, если ребро куба равно а (рис. 5).

Карточка № 4

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три данные точки, являющиеся либо вершинами куба, либо серединами его ребер (три данные точки на рисунке выделены). Найти периметр сечения, если ребро куба равно а (рис. 6).

Карточка № 5

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три данные точки, являющиеся либо вершинами куба, либо серединами его ребер (три данные точки на рисунке выделены). Доказать, что (ребро куба равно а) (рис. 7).

Карточка № 6

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три данные точки, являющиеся серединами его ребер (три данные точки на рисунке выделены) (рис. 8).

Карточка № 7

Все грани параллелепипеда - равные ромбы со стороной а и острым углом 60°. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В, D, М, если М - середина ребра ВС. Доказать, что построенное сечение есть равнобедренная трапеция. Найти стороны трапеции.

Решение:

1) Пусть α - секущая плоскость, α ∩ ABC = BD, α ∩ BCC1B1 = ВМ, MN || BD, сечение - трапеция BDNM.

2) ΔBB1M = ΔDD1N, ВМ = DN, трапеция BDNM равнобедренная.

3) (домашнее задание для более сильных учащиеся) (рис. 9).

Домашнее задание

П. 14, № 196 - первый вариант, № 81 - второй вариант, № 87 – третий вариант.

Задача 79 б)

Решение: Сечение плоскостью АСС1. Плоскости граней В1С1СВ и A1D1DA пересечены плоскостью A1C1CA, линии пересечения параллельны, АА1 || СС1. АА1 = СС1 (по свойству: отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями, равны). АА1 || СС1 и АА1 = CC1 (по признаку параллелограмма), АА1С1С - параллелограмм.

Задача 81

а) Пусть MN не параллельна ВС, тогда MN пересечет плоскость ABC.

Построение: продолжим отрезки ВС и MN до пересечения в точке х. Тогда точка х искомая.

б) AM не параллельна А1В1, AM пересечет А1В1, А1В1С плоскости А1B1C1.

Построение: Продолжим отрезки А1В1 и AM до пересечения в точке Y. Точка Y - искомая (рис. 10).

Задача 87 а)

Построение:

1. Допустим, что MN не параллельна АВ.

2. Продолжим MN и АВ до пересечения их в точке О.

3. ОК ⊂ ABC (так как О принадлежит плоскости ABC и К принадлежит плоскости ABC).

4. Соединим точки К и N.

5. Плоскости ONK и ОАК (то есть плоскость ABC) пересекаются по прямой ОК.

6. Поэтому продолжим ОК до пересечения с DC в точке L. Соединим точки К и L, ведь они лежат в одной плоскости.

7. Противоположные грани АА1В1В и DD1C1C секущая плоскость пересечет по параллельным прямым (по теореме: через две пересекающие прямые проходит плоскость, и притом только одна), поэтому в плоскости DD1C1C проведем LP || NM.

8. Соединим точки Р и М.

9. MNKLP - искомое сечение.

Задача 87 б)

Построение:

1. Соединим точки К и М.

2. Точка N принадлежит грани AA1D1D и секущей плоскости.

3. Секущая плоскость, проходящая через точку N, пересечет параллельные грани AA1D1D и ВВ1С1С по параллельным прямым; поэтому в плоскости AA1D1D проводим NP || КМ.

4. Проводим РМ.

5. Секущая плоскость проходит через точку К и пересекает противоположные грани АА1В1В и DD1C1C по параллельным прямым; поэтому в плоскости грани АА1В1В проводим KL || МР.

6. Соединим L и М.

7. KLNPM - искомое сечение (рис. 11).

VI. Подведение итого.

Оценки.