Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми - ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ - ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Цели урока:

1) ввести формулировку и доказательство теоремы о равенстве углов с ««направленными сторонами;

2) научится находить угол между прямыми в пространстве.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Активизация знаний учащихся

Теоретический опрос

а) Подготовить у доски доказательство признака скрещивающихся прямых.

б) Фронтальный теоретический опрос:

1. Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны? (Нет.)

2. Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые:

а) Пересекаться? (Да.)

б) Быть скрещивающимися? (Да.)

3. Могут ли скрещивающиеся прямые а и b быть параллельными прямой с? (Нет.)

4. Даны две скрещивающиеся прямые а и b. Точки А и А1 лежат на прямой а, точки В и В1 лежат на прямой b. Как будут расположены прямые АВ и А1В1? (Ответ: АВ скрещивается с A1B1..

5. Прямая а скрещивается с прямой b, а прямая b скрещивается с прямой с. Следует ли из этого, что прямые а и с - скрещиваются? (Нет.)

6. Каково должно быть взаимное расположение трех прямых, чтобы можно провести плоскость, содержащую все прямые? (Прямые попарно пересекаются или две параллельны, а третья их пересекает.)

Проверка домашнего задания.

Проверить задачи № 35, № 37 (дополнительную задачу - индивидуально).

III. Изучение нового материала

Ввести понятие сонаправленных лучей и углов с сонаправленными сторонами.

Любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет плоскость на 2 части, называемые полуплоскостями. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей.

Два луча ОА и О1А1 (рис. 1), не лежащие на одной прямой, называются ««направленными, если они параллельны и лежат в одной плоскости с границей ОО1. Два луча ОА и О1А1, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой.

1. Найти сонаправленные лучи.

2. Указать лучи, которые не являются сонаправленными.

Доказать теорему:

Теорема:

Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

Дано: ∠O и ∠О1 с сонаправленными сторонами (рис. 2).

Доказать: ∠О = ∠О1.

Доказательство: На сторонах угла О отметим любые точки А и В и на соответственных сторонах угла О1 отметим точки А1 и В1 такие, что О1А1 = ОА и О1В1 = ОВ.

1. Рассмотрим ОАА1О1. - параллелограмм (по признаку). Значит, АА1 || ОО1 и АА1 = ОО1.

2. Рассмотрим ОВВ1О1. - параллелограмм (по признаку). Значит, ВВ1 || ОО1 и ВВ1 = ОО1.

Вывод.

Следовательно, четырехугольник АА1ВВ1 - параллелограмм (по признаку). Следовательно, АВ = А1В1.

3. Рассмотрим ΔАВО и ΔA1B1O1. ΔАВО = ΔА1В1О1 (по трем сторонам).

Вывод:

∠О = ∠О1.

Ввести определение угла между пересекающимися прямыми.

Углом между пересекающимися прямыми называется угол, не превосходящий любой из трех остальных (то есть наименьший из четырех образованных). Необходимо подчеркнуть, что угол между прямыми - это градусная мера, а не геометрическая фигура.

По определению 0° < α ≤ 90°.

Угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD определяется как угол между пересекающимися прямыми А1В1 и C1D1 соответственно параллельными АВ и CD (рис. 3).

Зависит ли величина угла φ от выбора точки М1?

Выбрать (отметим) любую точку М2 и построить А2В2 || АВ и C2D2 || CD.

Ответить на вопросы:

1. Почему А2В2 || A1B1 и C2D21 || C1D1? (По теореме о трех параллельных прямых.)

2. Являются ли углы ∠A1M1D1 и ∠A2M2D2 углами с соответственно параллельными сторонами? (Да.)

Вывод:

1) ∠A1M1B1 = ∠A2M2B2 (по изученной теореме).

2) Величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки.

IV. Закрепление изученного материала

1. Устно. Дан куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 4).

Найдите угол между прямыми. 1) ВС и СС1 (90°); 2) АС и ВС(45°); 3) D1C1 и ВС(90°). 4) А1В1 и АС(45°).

2. Задача № 44 (на доске и в тетрадях).

Дано: OB || CD; OA и CD скрещиваются;

a) ∠AOB = 40°; б) ∠AOB = 135°; в) ∠AOB = 90° (рис. 5).

Найти: угол между ОА и CD.

Решение:

a) ∠AOB = 40°; CD || ОВ, то угол между скрещивающимися прямыми ОА и CD равен 40°.

б) ∠АОВ = 135°. Угол между пересекающимися прямыми ОА и ОВ равен: 180°- 135° = 45°. Угол между скрещивающимися прямыми ОА и CD равен 45°.

в) ∠АОВ = 90°. Угол между скрещивающимися прямыми ОА и CD равен 90°. (Ответ: а) 40°; б) 45°; в) 90°.)

3. Дополнительная задача

Треугольники ABC и ADC лежат в разных плоскостях. РК - средняя линия ΔADC с основанием АС. Определить взаимное расположение прямых РК и АВ и найти угол между ними, если ∠С = 80°; ∠В = 40°.

Дано: ΔADC и ΔАВС; РК - средняя линия ΔADC. ∠В = 40°; ∠С = 80° (рис. 6).

Определить: взаимное расположение прямых РК и АВ угол между РК и АВ.

Решение:

1. АВ ∩ (ADC) = А; А ∉ РК, так как РК || АС (по свойству средней линии треугольника) ⇒ АВ и РК скрещиваются.

2. РК || АС. Угол между пересекающимися прямыми АС и АВ равен: ∠А = 180° - (80° + 40°) = 60°.

3. Угол между скрещивающимися прямыми равен 60°. (Ответ: АВ и РК скрещиваются; 60°.)

V. Подведение итогов

Домашнее задание

П. 8; 9 № 40; 42.

Дать указание: повторить свойство четырехугольников, описанных около окружности.

Дополнительная задача

Трапеция ABCD (AD и ВС - основания) и треугольник AED лежат в разных плоскостях. МР - средняя линия ΔAED (МР || AD). Каково взаимное расположение прямых МР и АВ? Чему равен угол между этими прямыми, если ∠АВС = 110°.

№ 40. Дано: а скрещиваются b; (рис. 7).

Определить:

а) а ⊂ α, так как а скрещиваются b, то b ⊄ α.

б)

№ 42. Дано: ABCD - параллелограмм; АВЕК - трапеция. АВ = 22,5 см. ЕК = 27,5 см и АВЕК - описанный около окружности четырехугольник (рис. 8).

Определить: взаимное расположение CD и ЕК.

Найти: РАВKE.

Решение:

а) ЕК || АВ (по определению трапеции) ⇒ ЕК || CD (по теореме о трех параллельных прямых. CD || АВ (по определению параллелограмма);

б) АВ + ЕК = АЕ + ВК (по свойству четырехугольников, описанных около окружности). РABEK = АВ + ЕК + АЕ + ВК = 2 · (АВ + ЕК) = 2 · (22,5 + 27,5) = 100 (см). (Ответ: ЕК || CD; 100 см.)

Дополнительная задача

Дано: ABCD - трапеция; ADE - треугольник; МР - средняя линия (рис. 9).

Определить: взаимное расположение прямых МР и АВ.

Найти угол между ними, если ∠ABC = 110°.

Решение:

1. АВ и МР скрещиваются (по признаку скрещивающихся прямых).

2. (по теореме о трех параллельных прямых).

3. Угол между пересекающимися прямыми АВ и ВС равен: 180° - 110° = 70°. Угол между скрещивающимися прямыми АВ и МР равен 70°.