Сборник задач по математике с решениями - А. А. Рывкин, Е. Б. Ваховский 2003

Задачи
Задачи на составление уравнений

При решении задач на составление уравнений основную трудность представляет перевод условия задачи с обычного языка на язык математических символов и уравнений. Наиболее ответственный этап этого процесса — выбор неизвестных. Нельзя шаблонно выбирать в качестве неизвестных величины, стоящие в вопросе задачи. Основное требование, которому должны отвечать выбранные неизвестные, состоит в том, чтобы с их помощью можно было прозрачно записать сформулированные в условии задачи соотношения.

Разберем в качестве примера следующую задачу.

Пример 1. Трое рабочих должны изготовить некоторое число деталей. Сначала к работе приступил первый, а через некоторое

время к нему присоединился второй. Когда ¹/₆ работы была выполнена, к работе приступил третий. Работу они закончили одновременно. Сколько времени работал первый рабочий, если каждый изготовил одинаковое число деталей, причем третий работал на 2 ч меньше второго? Известно, что первый и второй, работая вместе, могут изготовить требуемое число деталей на 9 ч раньше, чем третий, если бы он работал один.

Известно, что каждый рабочий изготовил одинаковое число деталей, т. е. выполнил треть всей работы. С другой стороны, нет никаких сведений о числе деталей, изготовленных кем-либо в какой-либо промежуток времени. Это означает, что речь идет о работе «вообще», о том, что каждый выполнял какую-то часть этой работы, а потому всю работу следует принять за единицу. Ту же мысль подтверждает и условие, в силу которого третий рабочий приступил к работе, когда ¹/₆ работы (обратите внимание: ¹/₆ всей работы, а не 45 или 27 деталей) была уже выполнена.

Из условия следует, что рабочие работают по-разному, другими словами, они изготовляют разное число деталей за одно и то же время. Поэтому нужно ввести в рассмотрение производительность каждого из них. Однако через x, у и z мы обозначим не число деталей, изготовляемых в час первым, вторым и третьим рабочими соответственно, а ту часть всей работы, которую каждый из них выполняет за это время.

После всего сказанного должно быть очевидным, что мы легко перепишем условие задачи в виде системы уравнений, если введем в рассмотрение еще три неизвестные: t₁, t₂, t₃ — время, затраченное соответственно первым, вторым и третьим рабочими. Так как каждый из них сделал за это время треть всей работы, то

t₁x = t₂у = t₃z = ⅓. (1)

Мы получили три уравнения (их можно было написать в виде t₁x = ⅓, t₂у = ⅓, t₃z = ⅓. K ним нередко добавляют четвертое:

t₁x + t₂у + t₂z = 1,

которое должно отражать то обстоятельство, что в итоге вся работа была выполнена. Однако это уравнение не содержит никакой самостоятельной информации: оно является следствием первых трех и получается в результате их сложения. Поэтому последнее уравнение, хотя и верно составлено, но бесполезно для решения задачи.

Так как первый и второй рабочие вместе выполняют всю работу за ¹/_{x + y} ч, а третьему на это потребуется ¹/_z ч, то еще одно условие задачи можно записать так:

¹/_{x + y} + 9 = ¹/_z. (2)

Составим теперь уравнение, отражающее тот факт, что третий рабочий приступил к работе, когда ее ¹/₆ была выполнена. Другими словами, когда первый проработал t₁ − t₃ ч, а второй t₂ − t₃ ч, они сделали ¹/₆ всей работы:

x(t₁ − t₃) + у(t₂ − t₃) = ¹/₆. (3)

Добавляя к этим пяти уравнениям шестое:

t₂ − t₃ = 2, (4)

мы можем приступить к решению полученной системы уравнений.

Решая систему уравнений, как правило, следует держать в поле зрения два обстоятельства. Во-первых, систему уравнений нужно воспринимать в целом, так, как вы воспринимали бы ее, решая вне связи с задачей. Это позволит найти более рациональный ключ к ее решению. Во-вторых, нельзя упустить из виду те неизвестные (или комбинации неизвестных), которые позволят ответить на вопрос задачи. Благодаря этому можно обойтись без излишних вычислений.

В нашем примере второе обстоятельство должно побудить нас использовать уравнение (4) для упрощения уравнения (3), в результате чего из (3) будет исключено неизвестное t₂, которое нас не интересует. Однако после замены t₂ − t₃ на 2 уравнение (3) потеряет симметрию относительно t₁x и t₂у, что затруднит использование уравнений (1). Если же в уравнении (3) раскрыть скобки и вспомнить, что xt₁ = ⅓ и уt₂ = ⅓, то получим уравнение

t₃(x + у) = ½.

С его помощью можно выразить x + у через t₃, а из уравнения zt₃ = ⅓ можно выразить через t₃ и неизвестное z. Подставляя эти выражения в (2), получим

2t₃ + 9 = 3t₃,

откуда

t₃ = 9.

Дальнейшее решение системы не представляет труда. Находим последовательно: t₂ = 11, z = ¹/₂₇, у = ¹/₃₃. Из уравнения (2) определяем x = ⁵/₁₉₈ и t₁ = ¹/_3x = ⁶⁶/₅. Итак, первый рабочий работал 13 ч 12 мин.

Эту же задачу можно было бы решить с помощью меньшего числа неизвестных, если ввести в рассмотрение, помимо величин x, у и z, имеющих прежний смысл, величину t, обозначающую время, в течение которого рабочие работали вместе, т. е. время работы третьего рабочего. Это привело бы нас к системе:

t(x + у + z) = ⁵/₆ (1′)

(за время t рабочие сделали вместе ⁵/₆ всей работы),

tz = (t + 2)у = ⅓ (2′)

(за время t третий рабочий сделал треть всей работы, а второму на это потребовалось на 2 ч больше),

¹/_{x + y} + 9 = ¹/_z (3′)

(первый и второй рабочие выполняют всю работу на 9 ч быстрее, чем третий, работая один).

Поскольку tz = ⅓, то из (1′) найдем

x + y = ¹/_2t.

Вместе с z = ¹/_3t подставим в (3′). Получим

t = 9.

Как и прежде, найдем последовательно z, у и x. На вопрос задачи можно ответить, вспомнив, что первый рабочий работал столько, чтобы успеть сделать ⅓ всей работы, т. е. ¹/_3x.

Конечно, второе решение выглядит более изящно, чем первое. Однако признать его лучшим трудно, поскольку за те простые уравнения, от которых мы отказались, пришлось уплатить некоторым усложнением логики.

А теперь приведем арифметическое решение этой задачи — решение, в котором удается обойтись вообще без составления уравнений.

Так как рабочие совместно выполнили 1 − ¹/₆ = ⁵/₆ всей работы, причем третий сделал ⅓, то на долю первого и второго осталось ⁵/₆ − ⅓ = ½ всей работы. Следовательно, если бы первый и второй успели выполнить всю работу, то третий за то же самое время сделал бы ⅔; ему останется 1 − ⅔ = ⅓ , на что ему потребовалось бы в силу последнего условия задачи 9 ч.

Так как каждый рабочий сделал одинаковое количество деталей, т. е. ⅓ всей работы, то третий работал ровно 9 ч. Тогда второй работал 9 + 2 = 11 ч. Так как он тоже сделал ⅓ всей работы, то его производительность равна ¹/₃₃ всей работы в час. Мы знаем, что первый и второй тратят на ½ всей работы столько же, сколько третий на ⅓, т. е. 9 ч. Второй сделает за это время 33 · 9 = ³/₁₁ всей работы. Следовательно, на долю первого приходится ½ − ³/₁₁ = ⁵/₂₂. Его производительность ⁵/₂₂ : 9 = ⁵/₁₉₈ в час. Свою треть работы он выполнил за ⅓ : ⁵/₁₉₈ = 13¹/₅ (ч), т. е. за 13 ч 12 мин.

Хотя решение выглядит намного красивее, чем первые два, его тоже трудно назвать существенно лучшим. Взгляните внимательно на уравнения второго решения, и вы заметите, что третье решение получено почти «дословным» пересказом этих уравнений.

Таким образом, на пути к решению задачи вас не должно останавливать большое число неизвестных, которые, по вашему мнению, следует ввести.

Однако старайтесь не вводить неизвестные, размерность которых не встречается в условии и не может быть получена как комбинация элементов условия. Введение таких неизвестных может усложнить задачу.

Вот простой пример.

Пример 2. Расстояние между двумя пунктами A и В пароход проходит по течению реки на а ч быстрее, чем то же расстояние в стоячей воде, и на b ч быстрее, чем против течения (b > а > 0). За какое время пароход проходит расстояние от A до В по течению?

Если ввести в рассмотрение неизвестные: v — скорость парохода в стоячей воде, w — скорость течения реки, x — расстояние, то получим систему двух уравнений с тремя неизвестными:

Найти из этой системы величину ^x/_{v + w} можно, если сделать следующие преобразования:

и обозначить ^v/_x = у, ^w/_x = z. Мы придем к системе относительно у и z, решив которую, вычислим ¹/_{y + z}.

Однако такую систему можно было получить сразу, если бы мы не ввели в качестве неизвестного x пройденное пароходом расстояние.

В условии задачи не было чисел, выраженных в километрах, однако расстояние между пунктами являлось существенным связующим звеном. Это означает, что мы должны были принять его за единицу, а скорости v и w выражать в частях расстояния, пройденных за один час. В результате мы пришли бы к системе

которую не пришлось бы преобразовывать.

Разберем еще одну задачу, на примере которой видно, как решаются задачи на движение.

Пример 3. Из пункта С в пункт D выехал товарный поезд. Через 5 ч 5 мин навстречу ему из пункта D выехал пассажирский поезд. Они встретились в каком-то пункте А. После этого пассажирский поезд приехал в пункт С через 4 ч 6 мин, а товарный — в пункт D через 12 ч 55 мин. Сколько времени каждый поезд находился в пути?

Условия задачи можно отразить на схеме (рис. 18.1), где буквой В обозначено положение товарного поезда в момент выхода пассажирского из пункта D.

То обстоятельство, что оба поезда находились в точке А одновременно, мы отразим на схеме с помощью вертикального отрезка, связывающего оба пути. Схема подсказывает нам и выбор неизвестных. На путь от В до А товарный поезд потратил столько же времени, сколько пассажирский на путь от пункта D до А. Если обозначить это время через x, то на схеме не останется «белых пятен».

Пусть v₁ — скорость товарного поезда, а v₂ — скорость пассажирского поезда. Каждый из отрезков пути: от пункта С до А и от пункта D до А позволяет составить уравнения

12¹¹/₁₂v₁ = хv₂, (5¹/₁₂ + x)v₁ = 4¹/₁₀v₂.

Можно составить и уравнение для всего пути:

(5¹/₁₂ + x + 12¹¹/₁₂)v₁, = (x + 4¹/₁₀) v₂,

которое является следствием (точнее, суммой) первых двух уравнений. Однако это уравнение проще второго. Поэтому мы будем решать систему

Разделив первое уравнение на второе, получим

откуда x = 5 ч 10 мин (второй корень отрицательный и не имеет физического смысла). Итак, товарный поезд пройдет весь путь за 23 ч 10 мин, а пассажирский — за 9 ч 16 мин.

18.1. Бассейн наполняется четырьмя трубами за 4 ч. Первая, вторая и четвертая заполняют бассейн за 6 ч. Вторая, третья и четвертая — за 5 ч. За сколько времени заполняют бассейн первая и третья трубы?

18.2. У продавца испортились весы (плечи весов оказались неравными). Продавец отпустил покупателю два веса: первый раз на одну чашку весов положил килограммовую гирю, а на вторую — товар, во второй раз поменял гирю и товар местами. Компенсировал ли продавец неточность весов?

18.3. Школьник переклеивает свои марки в новый альбом. Если он наклеит по 20 марок на один лист, то ему не хватит альбома, если по 23 марки, то по крайней мере один лист останется пустым. Если школьнику подарить еще один такой же альбом, на каждом листе которого наклеено по 21 марке, то всего у него станет 500 марок. Сколько листов в альбоме?

18.4. Одному буксиру нужно перевезти за наименьшее время два понтона вниз по реке на l км. Было решено, что один понтон будет отправлен по течению реки самостоятельно, а другой будет некоторое время транспортироваться буксиром, после чего буксир оставит его и вернется за первым и отбуксирует его до конечного пункта. Сколько километров должен транспортироваться второй понтон, чтобы оба пришли к конечному пункту одновременно, и сколько потребуется времени на всю перевозку, если собственная скорость буксира v км/ч, а скорость течения реки u км/ч?

18.5. Некто родился в девятнадцатом веке (до 1900 года). В 1901 году сумма цифр числа, выражающего год его рождения, равнялась сумме цифр числа, выражающего количество прожитых лет. Определите, в каком году родился некто.

18.6. Цена бриллианта пропорциональна квадрату его массы. Бриллиант массой p карат был разбит на две части, после чего его стоимость уменьшилась в k раз. Найдите массы частей, на которые был разбит бриллиант^[12].

18.7. Некоторую часть маршрута туристам предстоит совершить вверх по реке. В их распоряжении моторная лодка, способная развивать две скорости с разным расходом горючего. Если скорость течения реки окажется равной u км/ч, то при движении на любой из собственных скоростей будет затрачено одинаковое количество горючего. Если же скорость течения в k раз больше (k > 1), то при движении с собственной скоростью v₁ горючее будет израсходовано полностью, а при движении с собственной скоростью v₂ останется A кг горючего. Какое количество горючего будет затрачено на весь путь?

18.8. У продавца мороженого есть по нескольку десятков порций мороженого пяти сортов — за 7, 9, 11, 13 и 15 p. Общее число порций равно 180, а общая стоимость — 1840 p. Порций мороженого по 7 и 9 p. вместе столько же, сколько по 11, 13 и 15 p. вместе. Кроме того, известно, что порций по 9 p. вдвое больше, чем по 15 p., и больше, чем по 13 p. Определите число порций каждого сорта.

18.9. Плоты шли из пункта A до устья реки вниз по течению. У устья реки их взял на буксир пароход и через 11,5 суток после выхода плотов из пункта A доставил их по озеру в пункт B. Сколько времени пароход вел плоты от устья реки по озеру до B, если известно, что пароход совершает рейс (без буксировки) от A до B за 40 ч и от B до A за 48 ч, а скорость во время буксировки уменьшается вдвое.

18.10. Три пловца должны проплыть из A в B и обратно. Сначала стартует первый, через 5 с — второй, еще через 5 с — третий. Некоторую точку C, находящуюся между пунктами A и B, все пловцы миновали одновременно (до этого времени ни один из них в B не побывал). Третий пловец, доплыв до B и повернув назад, встречает второго в 9 м от B, а первого — в 15 м от B. Найдите скорость третьего пловца, если расстояние AB равно 55 м.

18.11. Сосуд, содержащий p%−й раствор кислоты, долили доверху q%−м раствором кислоты и после перемешивания отлили то же количество. Проделав эту операцию k раз, получили r%−й раствор. Какую часть объема сосуда занимал первоначальный раствор^[13]?

18.12. Из пункта A в пункт B выехал автомобиль. Одновременно из B навстречу ему выехал мотоцикл. Через некоторое время они встретились. В момент их встречи из B в A выехал второй мотоцикл и в некоторый момент времени встретился с автомобилем. Расстояние между пунктами первой и второй встреч равно ²/₉AB. Если бы скорость автомобиля была на 20 км/ч меньше, то автомобиль встретился бы с первым мотоциклом через 3 ч после их выезда и расстояние между пунктами встреч было бы равно 60 км. Найдите AB, если скорости обоих мотоциклов одинаковы.

18.13. Пассажир, опоздавший на поезд, сначала решил догнать его на такси, однако через некоторое время пересел на автобус, заплатив за билет А p., и прибыл на одну из станций одновременно с поездом. Между тем он обнаружил, что если бы продолжал ехать на такси, то догнал бы поезд на τ ч раньше, истратив при этом на В p. меньше. Какова скорость поезда, если скорость такси v₁ км/ч, автобуса v₂ км/ч (v₁ > v₂), а стоимость проезда 1 км на такси а p.?

18.14. Товарный поезд, шедший из А в В, прибыл в С одновременно с пассажирским, шедшим из В в А со скоростью в m раз большей, чем скорость товарного поезда. Оба состава простояли t ч в пункте С, затем продолжили путь, причем каждый увеличил скорость на 25%. Товарный поезд прибыл в В на t₁ ч позже, а пассажирский в А на t₂ ч позже, чем если бы они двигались без остановки с первоначальной скоростью. Насколько раньше товарный поезд вышел из А, чем пассажирский из В?

18.15. Расстояние между пунктами А и В равно s км. Из пункта А в пункт В вылетел вертолет, а через t ч в том же направлении вылетел самолет. Самолет догнал вертолет в d км от А, долетел до В и сразу повернул обратно. В d км от В самолет встретил вертолет и вернулся в А позднее, чем вертолет прибыл в В. Насколько раньше вертолет прибыл в В, чем самолет вернулся в А?

18.16. В озеро впадают две реки. Пароход выходит из порта M на первой реке и плывет вниз по течению, затем через озеро (на озере течение отсутствует) и по второй реке вверх по течению до порта N. Придя в N, пароход отправляется в обратный путь.

Известна собственная скорость парохода v и скорости течения рек: v₁ и v₂. На путь от M до N, равный по длине s, и на обратный путь пароход тратит одинаковое время t. Какое расстояние пароход проходит по озеру?

18.17. Из пункта А в пункт В в 8 ч утра выходит скорый поезд. В этот же момент из В в А выходят пассажирский и курьерский поезда, причем скорость курьерского в два раза больше скорости пассажирского. Скорый поезд прибывает в В в 13 ч 50 мин того же дня, а встречает курьерский поезд не ранее 10 ч 30 мин утра. Когда пассажирский поезд прибудет в пункт А, если между моментами встреч скорого поезда с курьерским и скорого поезда с пассажирским проходит не менее часа?

18.18. Завод должен получить 1100 деталей. На базе имеются комплекты по 70, 40 и 25 деталей. Стоимость пересылки одного комплекта равна соответственно 20, 10 и 7 p. Какие комплекты и в каком количестве следует заводу заказать, чтобы расходы по пересылке были наименьшими? Переупаковка комплектов на базе не допускается.