Степенная функция у = хn - Степенная функция. Корень n-й степени - Квадратичная функция

Целы рассмотреть свойства и график функции у = хn.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Постройте график функции.

2. Парабола у = ах2 + bх + с проходит через точки А(-1; 0), B(0; 3) и С(2; -3). Найдите коэффициенты а, b, с.

Вариант 2

1. Постройте график функции.

2. Парабола у = ах2 + bх + с проходит через точки А(-1; 4), B(0; 1) и С(2; 7). Найдите коэффициенты а, b, с.

III. Изучение нового материала

Функцию у = хn (где х - независимая переменная, n - натуральное число) называют степенной функцией с натуральным показателем. Частные случаи такой функции для n = 1, 2, 3 (т. е. у = х, у = х2, у = х3) мы уже рассматривали. Известны свойства и графики этих функций. Теперь необходимо обсудить свойства и график степенной функции при любом натуральном n. Эти характеристики существенно различаются в зависимости от четности или нечетности числа n.

Приведем свойства функции у = хn при четном n (они аналогичны свойствам функции у = х2):

1. Область определения функции - промежуток (-∞; ∞).

2. Если х = 0, то у = 0. Поэтому график функции проходит через начало координат.

3. Если х ≠ 0, то у > 0. Следовательно, график функции расположен в первой и второй координатных четвертях.

4. Функция четная: у(-х) = у(х). Поэтому график функции симметричен относительно оси ординат.

5. Функция возрастает в промежутке [0; +∞) и убывает в промежутке (-∞; 0]. Наименьшее значение у = 0 функция принимает при х = 0, наибольшего значения функция не имеет.

6. Функция ограничена снизу, у ≥ 0.

7. Область значений функции - промежуток [0; +∞).

8. График функции представлен на рис. а.

Рассмотрим также свойства функции у = хn при нечетном n (они аналогичны свойствам функции у = x3):

1. Область определения функции - промежуток (-∞; +∞).

2. Если х = 0, то у = 0. Поэтому график функции проходит через начало координат.

3. Если x < 0, то y < 0 и если х > 0, то у > 0. Следовательно, график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.

4. Функция нечетная, у(-х) = -у(х). Поэтому график функции симметричен относительно начала координат.

5. Функция возрастает на всей области определения.

6. Функция неограниченная.

7. Область значений функции - промежуток (-∞; +∞).

8. График функции представлен на рис. б.

Пример 1

Дана функция f(х) = x3. Вычислим выражение f(3) – 4f(2) + 7f(1).

Чтобы найти значение функции при данном значении аргумента, надо подставить этот аргумент в формулу, задающую функцию, и выполнить действия.

Получаем: f(3) – 4f(2) + 7f(1) = 33 - 4 · 23 + 7 · 13 = 27 - 4 · 8 + 7 · 1 = 27 - 32 + 7 = 2.

Пример 2

Сравните числа.

а) (-3,2)4 и (-1,8)4; б) 2,44 и 2,74; в) (-6,5)3 и (-4,8)3; г) 2,83 и 4,13.

При решении подобных задач учитывают монотонность соответствующей функции.

Рассмотрим функцию f(x) = х4. Эта функция убывает на промежутке (-∞; 0].

Так как -3,2 < -1,8, то f(-3,2) > f(-1,8), или (-3,2)4 > (-1,8)4. На промежутке [0; +∞) эта функция возрастает. Так как 2,4 < 2,7, то и f(2,4) < f(2,7), или 2,44 < 2,74.

Теперь рассмотрим функцию g(x) = x3. Такая функция возрастает на всей области определения.

Так как -6,5 < -4,8 и 2,8 < 4,1, то и g(-6,5) < g(-4,8) и g(2,8) <g(4,1), или (-6,5)3 < (-4,8)3 и 2,83 < 4,13.

Пример 3

Построим график функции у = (x - 1)3 + 1.

Учтем ранее изученные способы преобразования графиков. График функции у = (x - 1)3 + 1 получается сдвигом графика функции у = х3 на одну единицу вправо и на одну единицу вверх.

IV. Контрольные вопросы

1. Перечислите основные свойства и приведите график функции у = хn для четных n.

2. Приведите свойства и график степенной функции для нечетных n.

V. Задание на уроке

№ 136; 138 (а, в); 139 (а, б); 140 (а, г, е); 142; 145 (а, б); 148 (а); 152; 154 (а).

VI. Задание на дом

№ 137; 138 (б, г); 139 (в, г); 140 (б, в, д); 143; 145 (в, г); 148 (в); 153; 154 (б).

VII. Подведение итогов урока