Решение задач с помощью систем уравнений второй степени - Уравнения с двумя переменными и их системы - Уравнения и неравенства с двумя переменными

Целы использовать системы уравнений для решения текстовых задач.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (тест).

Вариант 1

1. Способом подстановки решите систему уравнений.

Ответы:

2. Способом сложения решите систему уравнений.

Ответы: а) (0; -4), (4; -4); б) (4; -4); в) (2; -4); г) (4; -6).

Вариант 2

1. Способом подстановки решите систему уравнений.

Ответы: а) (2; -1); б) (2; -1), (41/23; -13/23); в) (2; -1), (34; -65); г) (2; -1), (18; -33).

2. Способом сложения решите систему уравнений.

Ответы: а) (-3; 1); б) (-3; 2); в) (-3; -3); г) (-3; 1), (-3; -3).

III. Изучение нового материала

Системы уравнений с двумя неизвестными часто используются при решении текстовых задач.

Пример 1

Произведение двух чисел равно 168, а сумма их квадратов равна 340. Найдите эти числа.

Пусть одно из чисел х, другое у. Запишем условия задачи и получим систему уравнений

Решим эту систему двумя способами.

1-й способ - способ подстановки.

Из первого уравнения выразим у = 168/x и подставим во второе уравнение.

Получим: х2 + (168/x)2 = 340, или х4 – 340x2 + 28 224 = 0.

Корни этого биквадратного уравнения: x1,2 = ±12 и х3,4 = ±14.

По формуле y = 168/x найдем соответствующие значения у: y1,2 = ±14 и y3,4 = ±12.

Итак, задача имеет четыре решения: (12; 14), (-12; -14), (14; 12), (-14;-12).

2-й способ - способ сложения.

Умножим первое уравнение на 2 и запишем систему уравнений в виде Сложим и вычтем уравнения системы. Получим: или или

Таким образом, данная система сводится к четырем системам линейных уравнений:

а) - решение (12; 14);

б) - решение (-12; -14);

в) - решение (14; 12);

г) - решение (-14; -12).

Пример 2

Периметр прямоугольного треугольника равен 30 см, а его гипотенуза равна 13 см. Найдите стороны треугольника.

Пусть катеты треугольника равны jc см и у см. Используя теорему Пифагора, запишем условия задачи:

или

Решим эту систему способом подстановки. Из первого уравнения выразим у = 17 - х и подставим во второе уравнение. Получим квадратное уравнение х2 + (17 - x)2 = 169, или x2 - 17x + 60 = 0, корни которого: x1 = 5 и x2 = 12. По формуле у = 17 - x найдем соответствующие значения у: у1 = 12 и у2 = 5.

Итак, длины катетов равны 5 и 12 см.

IV. Задание на уроке

№ 455; 457; 460; 461; 463; 467; 469; 476.

V. Задание на дом

№ 456; 458; 459; 462; 464; 468; 470; 473; 477.

VI. Подведение итогов урока

§ 8. Неравенства с двумя переменными и их системы