Решение систем уравнений второй степени - Уравнения с двумя переменными и их системы - Уравнения и неравенства с двумя переменными

Целы рассмотреть способ подстановки для решения систем уравнений.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Графически решите систему уравнений

2. Для каждого значения параметра а найдите число решений системы уравнений

Вариант 2

1. Графически решите систему уравнений

2. Для каждого значения параметра а найдите число решений системы уравнений

III. Изучение нового материала

Рассмотрим теперь аналитическое решение систем уравнений с двумя переменными. Наиболее распространенный способ решения систем - способ подстановки. Для этого необходимо:

1) выразить из более простого уравнения одну переменную через другую;

2) подставить это выражение в другое уравнение и получить уравнение с одной неизвестной;

3) решить полученное уравнение с одной переменной;

4) найти соответствующие значения второй неизвестной.

Пример 1

Решим систему уравнений

Второе уравнение системы является линейным (первой степени) и, соответственно, более простым. Выразим из него переменную у через переменную х: у = 2х - 3. Подставим это выражение в первое уравнение и получим уравнение с переменной х: 3(2х - 3)2 – 2x2 + х(2х - 3) + 5х + (2х - 3) = 8, или (после преобразований) 3х2 - 8х + 4 = 0. Корни этого квадратного уравнения: x1 = 2 и х2 = 2/3. Используя формулу у = 2х - 3, найдем соответствующие значения переменной у:

Итак, система имеет два решения: (2; 1) и (2/3; -5/3).

Во многих случаях оба уравнения системы являются нелинейными. Иногда способ подстановки пригоден и для таких систем.

Пример 2

Решим систему уравнении

Очевидно, что х ≠ 0. Из второго уравнения выразим переменную у через х: у = 3/x и подставим в первое. Получаем уравнение или (после преобразований) х4 + 17х2 -18 = 0. Корни этого биквадратного уравнения: x1 = 1 и х2 = -1. По формуле у = 3/x найдем соответствующие значения у: у1 = 3/1 = 3 и у2 = 3/-1 = -3. Итак, система уравнений имеет два решения: (1; 3) и (-1; -3).

Способ подстановки полезен и при решении систем уравнений с параметрами.

Пример 3

При всех значениях параметра а определите число решений системы уравнении

Из второго уравнения выразим переменную у через х: у = а + х. Подставим это выражение в первое уравнение и получим: х2 + (а - х)2 = 1, или 2х2 -2ах + а2 - 1 = 0. Дискриминант этого квадратного уравнения D = 4(2 - а2). Число решений уравнения (а следовательно, и системы уравнений) определяется знаком дискриминанта.

Если D > 0, или система имеет два решения (пересечение прямой и окружности - случай а).

Если D = 0, или система имеет одно решение (касание прямой и окружности - случай б).

Если D < 0, или система не имеет решений (прямая не пересекает окружность - случай в).

Заметим, что в ряде случаев при решении используют способ сложения (как частный случай способа подстановки).

Пример 4

Решим систему уравнений

Сложим уравнения системы и получим: 8(х + 1)2 = 32, или (х + 1)2 = 4, откуда х + 1 = ±2 и x1 = 1 и х2 = -3. Подставим выражение (х + 1)2 = 4, например, в первое уравнение системы. Получим: 3 · 4 - 2(у + 3)3 = 10, откуда (у + 3)3 = 1, или у + 3 = 1 и у = -2.

Итак, система уравнений имеет два решения: (1; -2) и (-3; -2).

Остальные способы решения систем уравнений будут рассмотрены в конце главы.

IV. Задание на уроке

№ 429 (а); 431 (а, в); 433 (а, б, в); 435 (а); 436 (б); 437 (а); 440 (б); 441 (а); 443 (а, б); 444 (а); 445; 448 (а); 449 (б).

V. Задание на дом

№ 429 (б); 431 (б, г); 433 (г, д, е); 435 (б); 436 (а); 437 (б); 440 (а); 441 (б); 443 (в, г); 444 (б); 446; 448 (в); 449 (а).

VI. Подведение итогов урока