Поурочные разработки по Алгебре для 9 класса к учебнику Ю.Н. Макарычева

Дробно-линейная функция и ее график (факультативное занятие) - Степенная функция. Корень n-й степени - Квадратичная функция

Цель: рассмотреть свойства дробно-линейной функции и ее график.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Определение корня n-й степени из числа а.

2. Найдите значение выражения

3. Постройте график функции

Вариант 2

1. Определение арифметического корня n-й степени из числа а.

2. Найдите значение выражения

3. Постройте график функции

III. Изучение нового материала

Ранее были рассмотрены свойства и график функции у = k/x при k > 0. Графиком функции является гипербола. Функция убывающая, и ее график не пересекает осей координат. Особенностью этого графика является наличие вертикальной и горизонтальной асимптот. Асимптотой графика функции у(х) называют прямую, к которой неограниченно близко приближается (при определенных условиях) график функции у(х). По внешнему виду асимптоты разделяются на вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Значения функции у = k/x при малых значениях х (х → 0) неограниченно возрастают или убывают (у → ∞ или у → -∞). Поэтому при малых х график функции неограниченно близко приближается к оси ординат (прямой х = 0). Такая прямая является вертикальной асимптотой графика функции у = k/x.

При больших значениях |х| (|х| → ∞) значения функции стремятся к нулю (у → 0). Поэтому при больших значениях |х| график функции у = k/x неограниченно близко приближается к оси абсцисс (прямой у = 0). Такая прямая является горизонтальной асимптотой графика функции у = k/x. Графики функции у = k/x приведены на рисунке.

Теперь обобщим функцию у = k/x и рассмотрим функцию , где х — переменная; а, b, с, d — некоторые числа, причем с ≠ 0 и ad - bc ≠ 0. Такую функцию называют дробно-линейной, т. е. формула, задающая функцию, представляет собой дробь, числитель и знаменатель которой линейные функции. Очевидно, что при а = d = 0 и b/c = k дробно-линейная функция является обратно пропорциональной зависимостью у = k/x.

Пример 1

Следующие функции являются дробно-линейными:

Заметим, что приведенные ограничения важны. При с = 0 дробно-линейная функция является линейной: при od - bc = 0 - константной: у = b/d.

Можно показать, что графиком дробно-линейной функции является гипербола, которую можно получить с помощью параллельных переносов вдоль координатных осей графика у = k/x. Для этого в дробно-линейной функции надо выделить целую часть, т. е. представить ее в виде (где n, k, m - некоторые числа).

Пример 2

Построим график функции

В дроби выделим целую часть и представим функцию в виде Здесь n = 2, k = -1, m = 1. Таким образом, надо построить график функции Он получается смещением гиперболы у = -1/x на одну единицу вправо и на две единицы вверх. График данной функции имеет вертикальную асимптоту х = 1 и горизонтальную асимптоту у = 2.

Пример 3

Рассмотрим еще один способ построения графика дробно-линейной функции

Для этого найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Положим, х = 0 и определим точку пересечения с осью ординат Теперь положим, у = 0, получим уравнение или 0 = 2х - 3 и найдем точку пересечения с осью абсцисс х = 1,5. Построим точки А(0; 3) и B(1,5; 0).

Определим асимптоты графика функции. Вертикальную асимптоту находим из условия, что функция не определена, т. е. х - 1 = 0, откуда х = 1. Поведение функции при больших значениях |х| (|х| → ∞) определяет горизонтальную асимптоту. При таких значениях х в числителе дроби можно пренебречь числом (-3), в знаменателе - числом (-1). Тогда получаем горизонтальную асимптоту у = 2x/2 = 2. Построим асимптоты графика х = 1 и у = 2.

При построении графика функции учтем:

1) ветви графика (гиперболы) симметричны относительно точки С пересечения асимптот;

2) график функции не пересекает асимптот.

После этих замечаний легко построить график данной функции.

Пример 4

Построим график функции

Раскроем знак модуля и получим:

При отрицательных значениях х ≠ -1 построим горизонтальную прямую у = -1. При х ≥ 0 строим график дробно-линейной функции Этот график пересекает ось ординат в точке у = -1 и ось абсцисс в точке х = 1. График имеет горизонтальную асимптоту у = 1. График также имеет вертикальную асимптоту х = -1, но она в рассматриваемый промежуток х ≥ 0 не входит. Таким образом, график данной функции состоит из прямой с удаленной точкой (-1; -1) и части гиперболы.

Пример 5

Построим график функции

Раскрыв знаки модуля, получим: Построим полученные зависимости. На промежутке х ∈ (-∞; - 3) гипербола имеет вертикальную асимптоту х = -4 и горизонтальную асимптоту у = 1, ось Ох не пересекает. На промежутке х ∈ [-3; 0] функция определена всюду, за исключением точки х = -2. При этом у = -1. На промежутке х ∈ (0; +∞) гипербола имеет горизонтальную асимптоту у = 1 и пересекает ось Ох в точке х = 2. Учитывая вышесказанное, нетрудно получить график исходной функции.

Пример 6

При каком значении параметра а прямая у = ax + 1 касается гиперболы Найти координаты точки касания.

Очевидно, что координаты точки касания удовлетворяют системе уравнений При этом система должна иметь единственное решениею

Приравняем правые части и получим уравнение или ах2 + х + ах + 1 = х - 1, или ах2 + ах + 2 = 0 (очевидно, что а ≠ 0). Чтобы это квадратное уравнение имело один корень, его дискриминант D = а2 - 8а = 0, откуда а = 8. Найдем координаты точки касания. Подставим значение а = 8 в уравнение ах2 + aх + 2 = 0 и получим: 8х2 + 8х + 2 = 0, или 2(2х + 1)2 = 0, откуда х = -1/2. Найдем соответствующее значение Итак, координаты точки касания графиков (-1/2; -3).