Решение неравенств с одной переменной - НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ СИСТЕМЫ - НЕРАВЕНСТВА

Цели: рассмотреть понятие решения неравенства, обсудить решение линейных неравенств с одной переменной.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Найдите пересечение и объединение промежутков (-5; 1] и [-2; 3), используя координатную прямую.

2. Перечислите элементы пересечения трех множеств А, В и С, если А — множество натуральных двузначных чисел, В — множество чисел, кратных 4, С - множество чисел, кратных 7.

Вариант 2

1. Найдите пересечение и объединение промежутков [-6; 2) и (-3; 1].

2. Перечислите элементы пересечения трех множеств А, В и С, если A — множество натуральных двузначных чисел, В — множество чисел, кратных 5, С — множество чисел, кратных 9.

III. Изучение нового материала (основные понятия)

Пример 1

Рассмотрим неравенство x2 + 16 > 10x. При одних значениях переменной x данное неравенство обращается в верное числовое неравенство, а при других - нет. Например, подставим вместо x число 9 и получим верное неравенство: 92 + 16 > 10 · 9 или 97 > 90. Если вместо x подставим число 5 и получим неверное неравенство: 52 + 16 > 10 · 5 или 41 > 50. Поэтому число 9 является решением данного неравенства х2 + 16 > 10х или удовлетворяет этому неравенству. Легко проверить, что решениями этого неравенства являются, например, числа -2; 1; 10; 100. Напротив, числа 2; 4,5; 6; 7 не являются решениями данного неравенства.

Решением неравенства с одной переменной называют такое значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными.

Пример 2

а) Неравенства 2x – 6 > 0 и равносильны, т. е. решением каждого неравенства являются числа, большие числа 3, т. е. x > 3.

б) Неравенства x2 + 4 ≤ 0 и |x| + 3 < 0 также равносильны, т. е. не имеют решений.

в) Неравенства 3х – 6 ≥ 0 и 2x > 8 неравносильны, т. к. решение первого неравенства x ≥ 2, а решение второго неравенства x > 4.

При решении неравенств используются следующие свойства:

1. Если из одной части неравенства перенести в другую любой член с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Пример 3

Неравенство 24 - 3x ≤ 0 равносильно неравенству -3x ≤ -24 (перенесли число 24, изменив знак на противоположный, в правую часть). Неравенство -3х ≤ -24 равносильно неравенству х ≥ 8 (разделили обе части на отрицательное число -3 и изменили знак неравенства на противоположный), что и является решением данного неравенства 24 - 3х ≤ 0.

Свойства 1 и 2 неравенств можно доказать, используя свойства числовых неравенств. Пусть некоторое число а является решением неравенства 24 - 3х ≤ 0, т. е. обращает его в верное числовое неравенство 24 - 3а ≤ 0. Прибавим к обеим частям этого неравенства число -24 и получим верное неравенство: 24 - 3а - 24 ≤ 0 - 24 или -3а ≤ -24. Это неравенство означает, что число а является решением неравенства -3х ≤ -24.

Было показано, что каждое решение неравенства 24 - 3х ≤ 0 является и решением неравенства -3х ≤ -24. Рассуждая аналогично, можно показать, что каждое решение неравенства -3х ≤ -24 будет и решением неравенства 24 - 3х ≤ 0. Таким образом, неравенства 24 - 3х ≤ 0 и -3х ≤ -24 имеют одни и те же решения, т. е. являются равносильными. Подобными рассуждениями можно показать, что неравенства -3х ≤ -24 и х ≥ 8 также будут равносильными.

Аналогично доказывается, что и в общем случае свойства 1 и 2 неравенств выполняются.

Рассмотрим решение линейных неравенств.

Неравенство вида ax + b v 0 (где v —знак сравнения, может быть одним из следующих: >, ≥, < или ≤ 0) называют линейным неравенством с одной переменной. Заметим, что левая часть линейного неравенства является линейной функцией.

Пример 4

Решим неравенство 8х ≤ 3х + 15.

Перенесем слагаемое 3х с противоположным знаком в левую часть неравенства: 8х - 3х ≤ 15. Приведем подобные члены: 5х ≤ 15. Разделим обе части неравенства на положительное число 5 (при этом знак неравенства сохраняется) и получаем х ≤ 3. Множество решений данного неравенства состоит из чисел, которые меньше или равны числу 3. Такое множество представляет собой числовой промежуток (-∞; 3], изображенный на рисунке.

Пример 5

Решим неравенство 3(2х - 1) > 2(х + 2) + х + 5.

Раскроем скобки в обеих частях неравенства: 6х – 3 > 2х + 4 + х + 5. Приведем в правой части подобные члены: 6x – 3 > 3x + 9. Перенесем с противоположным знаком член 3х из правой части в левую, а член -3 из левой части в правую 6х - 3х > 9 + 3. Опять приведем подобные члены в обеих частях неравенства: 3х > 12. Разделим обе части неравенства на положительное число 3 (при этом знак неравенства сохраняется) и получаем х > 4. Множество решений данного неравенства состоит из всех чисел, больших 4. Такое множество представляет собой промежуток (4; +∞), изображенный на рисунке.

Пример 6

Решим неравенство

Наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, равен 12. Поэтому умножим обе части неравенства на положительное число 12. Знак неравенства при этом сохраняется, и получаем: или или Приведем подобные члены в обеих частях неравенства 13х + 2 > 2x + 112. Перенесем член 2х в левую часть неравенства, а число 2 — в правую: 13х - 2х> 112 - 2. Приведем подобные члены 11х > 110. Разделим обе части неравенства на положительное число 11 и получим х > 10, т. е. промежуток (10; +∞).

Разумеет, как и линейное уравнение, линейное неравенство может не иметь решений либо его решением будет любое число.

Пример 7

Решим неравенство

В обеих частях неравенства раскроем скобки: приведем подобные члены: 4х – 7 > 4х - 4. Перенесем члены неравенства, зависящие от х, в левую часть, а числа — в правую часть: 4х - 4х > -4 + 7. Запишем (после приведения подобных членов) неравенство в виде 0 · х > 3. Так как при любом значении х полученное неравенство обращается в неверное числовое неравенство 0 > 3, то данное неравенство решений не имеет, т. е. х ∈ Ø.

Пример 8

Решим неравенство

Раскроем скобки в обеих частях неравенства: и приведем подобные члены: 4х – 4 ≥ 4х - 8. Перенесем члены неравенства, зависящие отх, в левую часть, а числа — в правую часть: 4х - 4х > -8 + 4. После приведения подобных членов запишем неравенство в виде 0 · х ≥ -4. Так как при любом значении х полученное неравенство обращается в верное числовое неравенство 0 ≥ -4, то решением данного неравенства будет любое число х, т. е. x ∈ (-∞; +∞).

Так же, как и решение линейных уравнений, решение линейных неравенств имеет наглядную графическую иллюстрацию.

Пример 9

Решим графически неравенство 2х - 6 > 0.

Для решения используем два подхода:

а) рассмотрим линейную функцию у = 2х - 6 и построим ее график.

Тогда графический смысл неравенства 2х - 6 > 0: найти тс значения х, при которых значения функции у = 2х - 6 положительны. Так как точка пересечения графика функции y(x) с осью х равна х = 3 (т. е. у = 0 при х = 3), то данное неравенство выполняется при x > 3, т. е. решение х ∈ (3; +∞);

б) запишем данное неравенство 2х - 6 > 0 в виде 2х > 6. Рассмотрим две линейные функции y1 = 2х (прямая пропорциональность, ее график проходит через начало координат) и у2 = 6 (график этой функции — горизонтальная прямая). Графический смысл неравенства 2х > 6: найти те значения х, при которых значения функции у1 больше значений функции у2. Точка пересечения графиков функций у1 и у2 равна х = 3. Из рисунка видно, что данное неравенство выполняется при х > 3, т. е. его решение х ∈ (3; +∞).

Получается, при использовании двух разных подходов был получен один и тот же ответ. Поэтому можно применять тот подход, который более удобен для вас.

IV. Контрольные вопросы

1. Что называется решением неравенства с одной переменной?

2. Какие неравенства считаются равносильными?

3. Сформулируйте свойства равносильности неравенств.

4. Какое неравенство называется линейным неравенством с одной переменной?

5. На примере поясните графический способ решения линейных неравенств.

V. Задание на уроке

№ 780; 783 (а); 784 (б); 789 (а, в); 793 (а, б); 796 (а); 797 (г); 799 (в); 803 (б); 804 (а); 808 (г, е); 811.

VI. Задание на дом

№ 781; 783 (в); 784 (д, ж); 789 (б, д); 793 (в, д); 796 (в); 797 (д); 799 (а); 803 (а); 804 (б); 808 (в, д); 812.

VII. Творческие задания

Аналитически и графически решите неравенства:

VIII. Подведение итогов урока