Итоги контрольной работы - урок 5 - ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ - КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Цели: сообщить результаты работы, рассмотреть наиболее типичные ошибки, разобрать трудные задачи.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Итоги контрольной работы

1. Распределение работ по вариантам и результатам решения. Данные о результатах работы удобно заносить в таблицу (для каждой пары вариантов).

№ задачи Итоги	1	2	3	...	6
+	5
±	1
—	1
Ø	1

Обозначения:

+ — число решивших задачу правильно или почти правильно.

± — число решивших задачу со значительными ошибками; .

— — число не решивших задачу;

Ø — число не решавших задачу. Вариант 1, 2 — 8 учеников.

2. Типичные ошибки, возникшие при решении задач.

3. Наиболее трудные задачи и их разбор (учителем или школьниками, сделавшими эту задачу).

4. Разбор всей контрольной работы (вывесить на стенде ответы к заданиям вариантов и разбор наиболее трудных вариантов).

III. Ответы и решения

Вариант 1

1. Ответ: х1 = 0 и х2 = -2. .

2. Ответ: х1,2 = ±2/3.

3. Ответ: х1 = 6 и х2 = 1. .

4. Ответ: решений нет.

5. Ответ: a = -17 и х2 = 8; .

6. Ответ: 4 см и 9 см.

Вариант 2

1. Ответ: х1 = 0 и х2 = -3. .

2. Ответ: х1,2 = ±2/3.

3. Ответ: х1 = 7 и х2 = 1. .

4. Ответ: решений нет.

5. Ответ: a = -42 и х2 = -14; .

6. Ответ: 3 см и 8 см.

Вариант 3

1. Ответ: х1 = 5/2 и х2 = 1. .

2. Ответ: x1 = 2 и х2 = -1.

3. Ответ: х1 = а и х2 = -3a. .

4. Ответ: 2х2 + 5х - 3 = 0.

5. Ответ: 7 км/ч. .

6. Ответ: р2 – 2q.

Вариант 4

1. Ответ: х1 = 4/3 и х2 = 1. .

2. Ответ: х1 = 1/3 и х2 = -1.

3. Ответ: х1 = 4а и х2 = -а. .

4. Ответ: 3х2 + 5х - 2 = 0.

5. Ответ: 13 км/ч. .

6. Ответ: -p/q.

Решения

Вариант 5

1. Для квадратного уравнения 6х2 + х - 2 = 0 найдем дискриминант D = 12 - 4 · 6 · (-2) = 49 и корни т. е. и

Ответ: 1/2; -2/3.

2. Уравнение (3х + 1)2 = (х + 2)2 запишем в виде (3х + 1)2 - (х + 2)2 = 0. Используя формулу разности квадратов, разложим левую часть уравнения на множители: или (2x – 1)(4x + 3) = 0. Так как произведение множителей равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два линейных уравнения: 2х - 1 = 0 (его корень х1 = 1/2) и 4х + 3 = 0 (корень х2 = -3/4).

Ответ: 1/2; -3/4.

3. Для квадратного уравнения х2 – х - а2 + а = 0 найдем дискриминант и корни т. е. x1 = а и x2 = 1 - a.

Ответ: а; 1 - а.

4. Пусть второй каменщик может сложить стену за х дней, а первый каменщик — за (х + 9) дней. Тогда за 1 день второй каменщик сделает 1/x часть стены, а первый каменщик - часть. Два каменщика за день сложат часть стены, а за 20 дней - часть, т. е. всю стену (объем всей работы принят за единицу). Получаем дробное рациональное уравнение: или Умножим обе части уравнения на выражение х(х + 9) и получим: 40х + 180 = х2 + 9х или 0 = х2 – 31x -180. Корни этого квадратного уравнения х1 = 36 и х2 = -5 (не подходит). Таким образом, первый каменщик сложит стену за 36 + 9 = 45 дней, а второй каменщик — за 36 дней.

Ответ: 45 дней и 36 дней.

5. Найдем дискриминант квадратного уравнения и получим Очевидно, что при всех значениях параметра а дискриминант D ≥ 0. Поэтому данное уравнение при всех а имеет корни. По теореме Виета сумма корней уравнения В этом выражении выделим полный квадрат разности Так как при всех значениях параметра а выражение (a – 4)2 ≥ 0, то сумма корней х1 + х2 ≥ -16. Поэтому наименьшее значение суммы корней равно -16 и достигается при условии а - 4 = 0, т. е. а = 4.

Ответ: -16.

6. Для уравнения х2 + 3х - 2а2 = 0 найдем дискриминант D = 9 + 8а2. Так как при всех значениях а величина D > 0, то данное уравнение имеет два различных корня х1 и x2. По теореме Виета х1 + х2 = -3 и х1 · х2 = -2а2. Пусть искомое уравнение имеет вид у2 + py + q = 0 и корни y1 = x1 + 1 и у2 = х2 + 1. Найдем сумму этих корней и их произведение Тогда по теореме Виета Поэтому искомое уравнение имеет вид у2 + у - 2а2 - 2 = 0.

Ответ: у2 + у - 2а2 - 2 = 0.

Вариант 6

1. Для квадратного уравнения 9х2 + 3х - 2 = 0 найдем дискриминант D = 32 - 4 · 9 · (-2) = 81 и корни т. е. и

Ответ: 1/3; -2/3.

2. Уравнение (4x + 3)2 = (2x – 1)2 запишем в виде (4x + 3)2 - (2x – 1)2 = 0. Используя формулу разности квадратов, разложим левую часть уравнения на множители: или (2х + 4)(6х + 2) = 0. Так как произведение множителей равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два линейных уравнения: 2х + 4 = 0 (его корень х1 = -2) и 6х + 2 = 0 (корень х2 = -1/3).

Ответ: -2; -1/3.

3. Для квадратного уравнения х2 + 3х - 4а2 + 6а = 0 найдем дискриминант и корни т. е. х1 = 2a - 3 и х2 = -2а.

Ответ: 2а - 3; -2а.

4. Пусть первый экскаватор может вырыть котлован за х дней, а второй экскаватор - за (х + 10) дней. Тогда за 1 день первый экскаватор выроет 1/х часть котлована, а второй экскаватор — часть котлована. Два экскаватора вместе за день выроют часть котлована, а за 12 дней - часть, т. е. весь котлован (объем всего котлована принят за единицу). Получаем дробное рациональное уравнение: или Умножим обе части уравнения на выражение х(х + 10) и получим: 24х + 120 = х2 + 10х или 0 = х2 - 14х -120. Корни этого квадратного уравнения х1 = 20 и х2 = -6 (не подходит). Таким образом, первый экскаватор выроет котлован за 20 дней, а второй — за 20 + 10 = 30 дней.

Ответ: 20 дней и 30 дней.

5. Найдем дискриминант квадратного уравнения и получим Очевидно, что при всех значениях параметра а дискриминант D ≥ 0. Поэтому данное уравнение при всех а имеет корни. По теореме Виета сумма корней уравнения В этом выражении выделим полный квадрат разности Так как при всех значениях параметра а выражение -(a - 3)2 ≤ 0, то сумма корней x1 + x2 ≤ 9. Поэтому наибольшее значение суммы корней равно 9 и достигается при условии а - 3 = 0, т. е. а = 3.

Ответ: 9.

6. Для уравнения х2 + 2х - 3а2 = 0 найдем дискриминант D = 4 + 12a2. Так как при всех значениях а величина D > 0, то данное уравнение имеет два различных корня х1 и х2. По теореме Виета х1 + х2 = -2 и х1х2 = -3а2. Пусть искомое уравнение имеет вид у2 + py + q = 0 и корни у1 = х1 - 1 и у2 = х2 - 1. Найдем сумму этих корней и их произведение Тогда по теореме Виета Поэтому искомое уравнение имеет вид у2 + 4у - 3а2 + 3 = 0.

Ответ: у2 + 4у - 3а2 + 3 = 0.