Функция у = k/x и ее график - ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЧАСТНОЕ ДРОБЕЙ - РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ

Цель: рассмотреть функцию у = k/x, ее свойства и график.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (тест).

Вариант 1

1. Упростите выражение

Ответы:

2. Найдите значение выражения при а = -0,7, b = 0,3.

Ответы: а) 7/3; б) 5/4; в) 7/4.

Вариант 2

1. Упростите выражение

Ответы: а) -1; б) a/b; в) –b/a.

2. Найдите значение выражения при a = 0,3, b = 0,8.

Ответы: а) 6/35; б) 3/35; в) -8/35.

III. Изучение нового материала (основные понятия)

Пример 1

Пусть поезд, двигаясь со скоростью х км/ч за y часов, проехал расстояние 700 км. Тогда выполняется равенство ху = 700. Выразим из этого равенства переменную y = 700/x. При увеличении значения х в несколько раз соответствующее значение у уменьшается во столько же раз (т. е. чем быстрее движется поезд, тем меньше ему требуется времени для прохождения этого пути). Например, при скорости х = 35 км/ч время движения y = 700/35 = 20 часов. При скорости х = 70 км/ч (вдвое большей) время движения у = 700/70 = 10 часов (вдвое меньше). Видно, что время движения у обратно пропорционально скорости движения.

В этом примере переменные х и у принимали только положительные значения. В дальнейшем будут рассматриваться функции, задаваемые формулой вида у = k/x (где k — число, не равное нулю), в которой переменные х и у могут принимать и положительные и отрицательные значения. К подобным функциям приводят многие задачи математики: площадь S прямоугольника со сторонами а и b равна S = ab (откуда b = S/a), площадь S треугольника с основанием а и высотой h равна S = ah/2 (откуда h = 2S/a) и физики: пройденный путь S при движении тела со скоростью V в течение времени t равен S = Vt (откуда t = S/V), падение напряжения U на участке цепи с сопротивлением R при протекании тока I равно U = RI (откуда I = U/R) и т. д.

Обратной пропорциональностью называется функция вида у = k/x, где х — независимая переменная; k — число, не равное нулю. Областью определения функции у = k/x является множество всех чисел, кроме нуля. Это следует из того, что выражение k/x имеет смысл при всех х ≠ 0.

Пример 2

Построим график функции у = 6/x, предварительно вычислив значения функции на промежутке -6 ≤ х ≤ 6 с шагом 0,5.

x	-6	-5,5	-5	-4,5	-4	-3,5	-3	-2,5	-2	-1,5	-1	-0,5
y	-1	-1,09	-1,2	-1,33	-1,5	-1,71	-2	-2,4	-3	-4	-6	-12

x	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5	5,5	6
y	12	6	4	3	2,4	2	1,71	1,5	1,33	1,2	1,09	1

Отметим на координатной плоскости точки, координаты которых размещены в таблице (отмечены не все точки). Через эти точки проведен график данной функции.

Выясним некоторые особенности графика функции. Так как при х = 0 функция не определена, то на графике нет точки с абсциссой О (т. е. график не пересекает ось у). Для функции у = 6/x при любых значениях х значение у не равно нулю. Поэтому график не пересекает ось х.

Положительным значениям х соответствуют положительные значения у (первая координатная четверть). Отрицательным значениям х соответствуют отрицательные значения у (третья координатная четверть). Из таблицы видно, что для противоположных значений х значения у также противоположны, т. е. у(-х) = -у(х). Функции, обладающие таким свойством, называются нечетными. Очевидно, что точки с координатами (х, у) и (-х, -у) симметричны относительно начала координат. Так как равенство выполнено для любых допустимых значений х, то ветви графика симметричны относительно начала координат.

Рассмотрим ветвь графика, расположенную в первой координатной четверти. При уменьшении х знаменатель в выражении у = 6/x уменьшается. Поэтому значения у возрастают. Например, если х = 1, то у = 6; при х = 0,1 у = 60. При этом график функции приближается к оси ординат. Прямая с уравнением х = 0 называется вертикальной асимптотой графика функции у = 6/x.

С увеличением х знаменатель в выражении у = 6/x возрастает. Поэтому значения y уменьшаются. Например, при х = 1 у = 6, при х = 10 у = 0,6, при х = 100 y = 0,06. Видно, что при достаточно больших значениях х значения функции y почти равны нулю. При этом график функции приближается к оси абсцисс. Прямая с уравнением у = 0 называется горизонтальной асимптотой графика функции у = 6/x.

Заметим, что такой же вид имеет график любой функции при любом значении k > 0.

Пример 3

Построим график функции у = -6/x. Аналогично предыдущему примеру составим таблицу значений функции в промежутке -6 ≤ х ≤ 6. Отметим полученные точки на координатной плоскости и построим график функции.

Видно, что в этом случае график функции имеет те же особенности, что и в предыдущем примере. Область определения функции — множество всех чисел не равных нулю. График не пересекает осей координат.

График имеет вертикальную асимптоту с уравнением х = 0 и горизонтальную асимптоту с уравнением y = 0. График зависимости у = -6/x по-прежнему представляет собой кривую, состоящую из двух ветвей. Эти ветви симметричны относительно начала координат. Однако в отличие от графика функции у = 6/x в этом случае одна ветвь расположена во второй четверти, а другая ветвь — в четвертой координатной четверти.

График функции у = k/x при любом значении k < 0 имеет такой же вид, что и график, изображенный на рисунке.

Кривую, являющуюся графиком обратной пропорциональности у = k/x, называют гиперболой. Гипербола состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат.

Пример 4

Гипербола проходит через точку A (2; -5). Напишем уравнение этой гиперболы.

Гипербола является графиком обратной пропорциональности у = k/x. Так как этот график проходит через точку А, то ее координаты удовлетворяют уравнению такой зависимости. Получаем: -5 = k/x. Из этого уравнения найдем k = -5 · 2 = -10. Следовательно, данная гипербола описывается зависимостью y = -10/х.

IV. Контрольные вопросы

1. Какая функция называется обратной пропорциональностью?

2. Основные особенности функции.

3. Нарисуйте эскиз графика функции для случая: а) k > 0, б) k < 0. В каких четвертях располагается этот график?

4. Какая кривая называется гиперболой? Как располагаются ветви гиперболы?

V. Задание на уроке: № 172, 174, 175, 178, 180 (а, б), 181, 182 (а).

VI. Задание на дом: № 173, 176,177, 179, 180 (в, г), 182 (б), 183, 184.

VII. Подведение итогов урока