Площадь криволинейной трапеции - ОБОБЩАЮЩЕЕ ПОВТОРЕНИЕ КУРСА АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА - 2-е полугодие

УРОК № 8

Тема. Площадь криволинейной трапеции

Цели: упражнять учащихся в нахождении площади криволинейной трапеции.

Ход урока

I. Анализ домашней контрольной работы

1. Указать ошибки, сделанные учащимися в работе.

2. Выполнить 4-е задание из работы (проверить его решение): найти область определения функции

Решение

Функция у = определена, если значение подкоренного выражения неотрицательно:

Ответ: (-5;-2]U(3;∞) и х=0;

Указание

Рис. 63

Ответ: (-5;0]U(7;∞) и х = 2.

II. Нахождение площади криволинейной трапеци.

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Рис. 64

Решение

Находим координаты вершины параболы

Находим площадь фигуры:

2. На параболе найдите точки, ближайшие к началу координат.

Решение

Пусть N(x;y) - точка, лежащая на параболе . Найдём расстояние от этой точки до начала координат, то Рассмотрим функцию

Функция f(x) непрерывна на R, т. к. это целая рациональная функция и дифференцируемая на R. Найдём критические точки f(x):

х = 0 или Эти точки принадлежат области определения функции.

Рис. 65

При переходе через точки производная меняет знак с минуса на плюс. Значит, есть точки минимума. Минимум функции в этих точках есть её наименьшее значение, т. к. на R только две точки минимума.

Если точка (-;1); если х = , то точка (;1). Ответ: точки параболы, ближайшие к началу координат (-;1) и (;1).

3*. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = х2 +10 и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0;1).

Рис. 66

Решение

Неизвестна абсцисса точки касания х = а. Чтобы её найти, составим уравнение касательной:

Имеем значит, уравнение касательной имеет вид.

Уравнение касательной

По условию касательная должна проходить через точку (0;1), то есть координаты точки (0;1) должны удовлетворять уравнению (1):

Подставим найденные значения в уравнение (1).

если

если

Получили два уравнения касательных Параболы y = х2 + 10 они касаются в точках А(-3;19) и В(3;19).

Найдём площадь фигуры DACB:

Ответ: 18.

4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение

Построим графики функций

Рис. 67

Найдём пределы интегрирования:

Пределы интегрирования:

III. Итоги урока

IV. Домашнее задание: повторить из § 9 п. 32, 33; решить на стр. 298 № 275, № 276.