Поурочные разработки по Алгебре 9 класс к учебнику А. Г. Мордковича - 2011 год

Основные понятия - Системы уравнений

В этой главе обсудим системы уравнений с двумя переменными. Такие системы очень часто представляют собой математические модели рассматриваемых ситуаций. Такие ситуации возникают при решении текстовых и геометрических задач, при анализе функций и т. д.

Уроки 17-18. Основные понятия

Цель: ввести основные понятия и термины темы.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Изучение нового материала

1. Рациональные уравнения с двумя переменными

Равенство, содержащее две переменные, называют уравнением с двумя переменными (или неизвестными). Решением уравнения с двумя переменными называют пару значений неизвестных, которые обращают это уравнение в верное равенство. Уравнение с двумя переменными может иметь бесконечное множество решений или ограниченное число решений, а также не иметь решений.

Пример 1

Рассмотрим следующие уравнения с двумя переменными.

а) Уравнение 3х + 7у = 10 (уравнение прямой) имеет бесконечное множество решений.

б) Уравнение |х - 1| + у² = 0 имеет единственное решение х = 1, у = 0.

в) Уравнение (х² - 1)² + (у² - 4)² = 0 имеет четыре решения: х = 1, у = 2; х = 1, у = -2; х = -1, у = 2; х = -1, у = -2.

г) Уравнение |x - 1| + (у - 2)² = -5 не имеет решений.

Два уравнения, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными.

Пример 2

а) Уравнения |х| + (у - 1)² = 0 и х² + |у - 1| = 0 равносильны, так как имеют одно и то же решение х = 0 и у = 1.

б) Уравнения |х| + (у - 1)² = 0 и x² + |y² - 1| = 0 неравносильны, так как первое имеет одно решение х = 0, у = 1, а второе - два решения: х = 0, у = 1 и х = 0, у = -1.

Уравнение вида h(х; у) = g(x; у) (где h(x; у), g(x; у) - рациональные выражения) называют рациональным уравнением с двумя переменными х и у.

Пример 3

а) Уравнения рациональные (по определению).

б) Уравнения не являются рациональными, так как содержат операцию извлечения квадратного корня.

Целым уравнением называют рациональное уравнение, которое не содержит операцию деления на выражение с переменной.

Пример 4

а) Уравнения целые (по определению).

б) Уравнения не являются целыми, так как содержат операцию деления на выражение с переменной.

Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и степень целого уравнения с одной переменной. Если одна часть уравнения представляет собой многочлен стандартного вида, а другая - число 0, то степень уравнения считают равной степени этого многочлена. Для определения степени уравнения его заменяют равносильным, одна часть которого - многочлен стандартного вида, а другая - нуль.

Пример 5

Уравнение равносильно уравнению и равносильно уравнению Поэтому данное уравнение является уравнением пятой степени.

В случае целых уравнений распространены задачи, в которых надо найти целочисленные решения. Такие задачи рассматриваются уже свыше двух тысяч лет. Несмотря на это, общего алгоритма решения подобных уравнений (их называют диафантовыми уравнениями) не существует. Мы, естественно, ограничимся самыми простыми уравнениями.

Пример 6

Найдем целочисленные решения уравнения 3х + 6у = 391.

Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение в виде 3(х + 2у) = 391. Так как по условию х и у - целые числа, то выражение х + 2у также является целым числом. Поэтому левая часть уравнения 3(х + 2у) - число, кратное 3. Правая часть - число 391 - делится на 3 с остатком. Получаем противоречие. Следовательно, данное уравнение целочисленных решений не имеет.

Пример 7

Найдем целочисленные решения уравнения 4х + 3у = 11.

Из выражения 4х + 3у = 11 получим переменную Так как знаменатель этой дроби равен 3, то рассмотрим различные целые числа х по отношению к делителю 3. Возможны три ситуации:

а) число х кратно 3, т. е. х = 3n (где n ∈ Z). Тогда не является целым числом:

б) число х при делении на 3 дает остаток 1, т. е. х = 3n + 1. Тогда не является целым числом;

в) число х при делении на 3 дает остаток 2, т. е. х = 3n + 2. Тогда является целым числом.

Таким образом, данное уравнение имеет бесконечное множество целочисленных решений (3n + 2; 1 – 4n), где n ∈ Z. Для наглядности в таблице приведены некоторые такие решения для некоторых значений n.

n	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
x	-10	-7	-4	-1	2	5	8	11	14
y	17	13	9	5	1	-3	-7	-11	-15

Рассмотрим теперь целые уравнения второй степени.

Пример 8

Найдем целочисленные решения уравнения х² - 2ху - 3у² = -3. Учтем, что левая часть уравнения - однородный многочлен второй степени по переменным х и y, и разложим его на множители. Будем считать, что х - переменная величина, а у - постоянная. По формулам Виета найдем корни квадратного уравнения х² - 2ху – 3y² = 0. Получаем: т. е. x₁ = 3у и x₂ = -у. Тогда разложение многочлена имеет вид: (х - 3у)(х + у). Получаем уравнение (х – 3y)(х + 1) = -3.

Так как х и у по условию целые числа, то и числа x - 3у и х + у целые и являются делителями числа -3. Возможны четыре случая:

а) Решение этой системы линейных уравнений (-2; 1) является целочисленным;

б) Решение такой системы (2; 1) также является целочисленным;

в) Решение системы (0; -1) целочисленное;

г) Решение системы (0; 1) также целочисленное.

Таким образом, данное целое уравнение имеет четыре целочисленных решения: (-2; -1), (2; 1), (0; -1), (0; 1).

Пример 9

Найдем целочисленные решения уравнения ху + 2х - у = 5.

Данное целое уравнение также имеет вторую степень. Для его решения используем тот же прием, что и в предыдущем примере, - разложение левой части на множители. Для этого используем группировку членов. Получаем: (ху + 2х) - у = 5, или х(у + 2) - у - 2 = 5 - 2, или x(y + 2) - (у + 2) = 3, или (х - 1)(у + 2) = 3. Очевидно, что числа х - 1 и у + 2 целые и являются делителями числа 3. Возникают четыре ситуации:

а) Решение этой системы (2; 1);

б) Решение этой системы (4; -1);

в) Решение этой системы (0; -5);

г) Решение этой системы (-2; -3).

Итак, данное уравнение имеет четыре целочисленных решения: (2; 1), (4; -1), (0; -5), (-2; -3).

Пример 10

Найдем целочисленные решения уравнения (2х - у)² + 27(3x – y)²= 25.

Для решения этой задачи удобно сделать оценки. Так как числа 2х-у и 3х-у целые и могут принимать значения 0; ±1; ±2; то их квадраты принимают значения 0; 1; 4; ... . Простейшие оценки показывают, что возможен единственный вариант: (2х - у)² = 25 и (3х - у)² = 0. Это приводит к двум системам линейных уравнений: (решение x = -5, y = -15) и (решение х = 5, y = 15).

Таким образом, данное уравнение имеет два целочисленных решения: (-5; -15) и (5; 15).

Из рассмотренных примеров видно, что для решения задач с одинаковой формулировкой использовались различные приемы:

1) разложение одной из частей уравнения на множители;

2) рассмотрение делимости с остатком одной из переменных;

3) оценки определенных комбинаций переменных.

2. График уравнения с двумя переменными

Графиком уравнения р(х; у) = 0 с двумя переменными называют множество точек координатной плоскости, координаты которых (х; у) являются решениями этого уравнения.

Пример 11

а) Графиком уравнения ах + bу = с (где а ≠ 0 или b ≠ 0) является прямая.

б) Графиком уравнения у = ах² + bх + с (где а ≠ 0) является парабола.

в) Графиком уравнения (где с ≠ 0 и ad - bc ≠ 0) является гипербола.

Рассмотрим более сложные задачи.

Пример 12

Построим график уравнения х² - y² = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители: (х - у)(х + y) = 0. Так как произведение двух множителей равно нулю, то один из них равен нулю. Получаем: х - у = 0 (откуда у = х) или х + у - 0 (тогда у = -х). Таким образом, графиком данного уравнения являются две прямые: у = х и у = -х.

Пример 13

Построим график уравнения (у + |х| - 2)(у + 4 - х²) = 0.

Используем тот же подход, что и в предыдущей задаче. Опять произведение множителей равно нулю. Получаем: y + |x| - 2 = 0 (откуда у = 2 - |x|) или у + 4 - х² = 0 (тогда у = х² - 4).

Итак, графиком данного уравнения являются модульная зависимость у = 2 - |x| и парабола у = х² - 4. График уравнения симметричен относительно оси ординат.

3. Формула расстояния между двумя точками координатной плоскости

График уравнения (х - а)² + (у - b)² = r²

Теорема 1. Расстояние между точками A(х₁; у₁) и В(х₂; у₂) равно Доказательство теоремы приводить не будем: оно изложено в учебнике.

Пример 14

Найдите координаты точек пересечения графиков функций у = |x| и и расстояние между этими точками.

Построим график данных функций и обозначим точки пересечения этих графиков буквами А и В. Для нахождения координат таких точек надо решить систему уравнений

Сначала найдем координаты точки А. Как видно из рисунка, для этой точки координата х > 0. Поэтому получаем систему уравнений: Подставим первое уравнение во второе. Имеем линейное уравнение: или 5х = х + 12, откуда х = 3 (тогда y = 3). Итак, нашли координаты точки А(3; 3).

Теперь определим координаты точки В. Для нее координата x < 0. Поэтому получаем систему уравнений: Вновь подставим первое уравнение во второе. Имеем линейное уравнение: или -5х = х + 12, откуда х = -2 (тогда у = 2). Получили координаты точки В(-2; 2).

Найдем расстояние между точками А и В:

Теорема 2. Графиком уравнения является окружность с центром в точке O'(a; b) и радиусом r.

Доказательство этой теоремы также не приводим.

В частности, графиком уравнения x² + у² = r² является окружность с центром в начале координат и радиусом r.

Пример 15

Построим график уравнения х² - 2х + у² + 4у = 0.

Так как в уравнение переменные х и у входят во второй степени (и ниже), то это уравнение окружности. Выделим в уравнении полные квадраты по переменным х и у. Для этого запишем уравнение в виде или Видно, что это уравнение окружности с центром в точке O'( 1; -2) и радиуса r = √5 ≈ 2,2. Теперь легко построить и сам график.

Пример 16

Построим график уравнения

Прежде всего отметим, что у ≥ 0. Возведем обе части уравнения в квадрат: у² = 4х - х² или у² + х² - 4х = 0. Выделим квадрат разности по переменной х: у² + (х - 4х + 4) = 4 или (x - 2)² + у²= 2². Получили уравнение окружности с центром в точке O'(2; 0) и радиуса r = 2. Учитывая ограничение у ≥ 0, имеем верхнюю полуокружность. Теперь можно строить график.