ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ - ОБУЧАЮЩИЕ РАБОТЫ

ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 13. Подобие треугольников

ВАРИАНТ 1

На рисунке изображены прямоугольные треугольники с прямыми углами С и К. Найдите подобные треугольники и докажите их подобие.

ВАРИАНТ 2

На рисунке изображен параллелограмм ABCD, в нем проведены высоты ВН и ВМ. Найдите подобные треугольники и докажите их подобие.

ВАРИАНТ 3

На рисунке изображена трапеция, диагонали которой пересекаются в точке О. Найдите подобные треугольники и докажите их подобие.

ВАРИАНТ 4

На рисунке изображен треугольник АВС, в нем проведены высоты ВН и AM. Найдите подобные треугольники и докажите их подобие.

ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 14 . Признаки подобия треугольников

ВАРИАНТ 1

1. Стороны одного треугольника равны 7 см, 10 см, 8 см, а периметр подобного ему треугольника равен 75 см. Найдите стороны второго треугольника.

2. Острый угол в одном прямоугольном треугольнике равен 23°, а в другом прямоугольном треугольнике — 67°. Определите, подобны ли эти треугольники.

ВАРИАНТ 2

1. Коэффициент подобия двух подобных многоугольников равен 0,3, а периметр меньшего из данных многоугольников равен 21 см. Найдите периметр другого многоугольника.

2. Угол при вершине в одном равнобедренном треугольнике равен 42°, в другом равнобедренном треугольнике угол при основании — 69°. Определите, подобны ли эти треугольники.

ВАРИАНТ 3

1. Стороны треугольника пропорциональны числам 6 : 5 : 4. Большая сторона подобного ему треугольника равна 5,4 см. Найдите другие стороны второго треугольника.

2. Дана трапеция АВСК (АК — большее основание). Боковые стороны продолжены до пересечения в точке М. Докажите, что треугольники AM К и ВМС подобны. Найдите основание ВС, если МВ = 8, АВ = 4, АК = 18.

ВАРИАНТ 4

1. Стороны треугольника пропорциональны числам 6:5:4. Меньшая сторона подобного ему треугольника равна 3,6 см. Найдите другие стороны второго треугольника.

2. Дан треугольник АВС. Через точку О на стороне АВ и точку Р на стороне СВ проведена прямая, причем ОР параллельна АС. Докажите, что треугольники АВС и ОВР подобны. Найдите длину ОР, если известно, что АС = 15, РВ = 10, ВС = 20.

ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 15. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

ВАРИАНТ 1

Найдите стороны и площадь прямоугольного треугольника АВС (угол С — прямой, СН — высота), если известно, что АН = 9 см, ВН = 16 см.

ВАРИАНТ 2

Найдите неизвестные стороны и площадь прямоугольного треугольника АВС (угол С — прямой, СН — высота), если известно, что АС = 20 см, АН = 16 см.

ВАРИАНТ 3

Найдите неизвестные стороны и площадь прямоугольного треугольника АВС (угол С — прямой, СН — высота), если известно, что ВС = 15 см, АН = 16 см.

ВАРИАНТ 4

Найдите стороны и площадь прямоугольного треугольника АВС (угол С — прямой, СН — высота), если известно, что СН = 12 см, ВН = 9 см.

ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 16. Средняя линия треугольника

ВАРИАНТ 1

1. В треугольнике АВС проведена средняя линия КМ (К ∈ АВ, М ∈ ВС). Найдите стороны треугольника КВМ, если АВ = 13 см, ВС = 12 см, АС = 15 см.

2. В равнобедренном треугольнике МРК с основанием МР проведены средние линии АВ и АС (A ∈ МР, В ∈ МК, С ∈ РК). Определите вид четырехугольника ВКСА. Найдите периметр четырехугольника ВКСА, если КР = 12 см.

ВАРИАНТ 2

1. В треугольнике МРК проведены медианы МА и КВ. Найдите стороны треугольника МРК, если известно, что РВ = 10 см, РА = 15 см, АВ = 13 см.

2. В равнобедренном треугольнике МРК с основанием МР проведены средние линии АВ и АС (A ∈ МР, В ∈ МК, С ∈ PK). Определите вид четырехугольника ВКСА. Найдите периметр треугольника МРК, если АВ = 17 см, АР = 25 см.

ВАРИАНТ 3

1. Точки С, Н, Р — середины сторон треугольника АВК. Найдите периметр треугольника СНР, если стороны треугольника АВК равны соответственно 12; 9; 8.

2. Диагональ прямоугольника равна 15 см. Определите вид четырехугольника с вершинами в серединах сторон данного четырехугольника и найдите его периметр.

ВАРИАНТ 4

1. Точки С, Н, Р — середины сторон треугольника АВК. Найдите стороны треугольника АВК, если стороны треугольника СНР равны соответственно 12; 9; 8.

2*. Средняя линия ΔАВС параллельна стороне АС и делит треугольник на части, периметры которых пропорциональны числам 5 : 3. Разность периметров этих частей равна 6 дм. Найдите периметр треугольника АВС.

ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 17. Решение прямоугольных треугольников (1)

ВАРИАНТ 1

1. В прямоугольном треугольнике ОМН гипотенуза МН равна 10 см. Найдите катет ОМ, если косинус угла М равен 0,6.

2. Найдите гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС, если АС = 12 и ∠A = 45°.

3. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если гипотенуза и один из катетов равны 3√2 и 3.

ВАРИАНТ 2

1. В прямоугольном треугольнике ОМН гипотенуза МН равна 15 см. Найдите катет ОМ, если синус угла Н равен 0,8.

2. Найдите гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС, если ВС = 12 и ∠B = 60°.

3. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если катеты равны 5√3 и 5.

ВАРИАНТ 3

1. В прямоугольном треугольнике ОМН катет МО равен 4,8 см. Найдите гипотенузу НМ, если косинус угла М равен 0,6.

2. Найдите катет АС прямоугольного треугольника АВС (угол С — прямой), если ВС = 12 и ∠A = 30°.

3. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если гипотенуза и один из катетов равны 8 и 4√3.

ВАРИАНТ 4

1. В прямоугольном треугольнике ОМН катет МО равен 5,6 см. Найдите гипотенузу НМ, если синус угла Н равен 0,8.

2. Найдите катет АС прямоугольного треугольника АВС (угол С — прямой), если ВС = 12 и ∠B = 60°.

3. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если катеты равны 7 и 7√3.

ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 18. Решение прямоугольных треугольников (2)

ВАРИАНТ 1

1. В треугольнике АВС проведена высота BD. Найдите стороны АВ и ВС, если ∠A = 20°, ∠C = 36°, BD = 10 см.

2. Найдите углы ромба, если известны его диагонали 2 см и 4 см.

3. В равнобедренном треугольнике угол, противолежащий основанию, равен 30°, а средняя линия, параллельная основанию, равна 10 см. Найдите стороны треугольника.

ВАРИАНТ 2

1. В треугольнике АВС проведена высота BD. Найдите стороны АВ и ВС у если ∠A = 32°, ∠C = 44°, BD = 4 см.

2. Найдите углы ромба, если известны его диагонали 6 см и 8 см.

3. В равнобедренном треугольнике основание равно 15 см; угол, противолежащий основанию, равен 30°. Найдите стороны треугольника, который отсекает средняя линия, параллельная основанию.

ВАРИАНТ 3

1. В треугольнике АВС проведена высота BD. Найдите высоту BD и сторону ВС, если ∠A = 36°, ∠C = 44°, АВ = 15 см.

2. Найдите углы ромба, если его сторона равна 9 см, а одна из диагоналей равна 3 см.

3. Найдите стороны параллелограмма ABCD, если известно, что высота ВН, опущенная на сторону AD, равна 4 см, ∠ABH = 50°, ∠DBH = 24°.

ВАРИАНТ 4

1. В треугольнике АВС проведена высота BD. Найдите высоту BD и сторону ВС, если ∠A = 20°, ∠C = 32°, АВ = 14 см.

2. Найдите углы ромба, если его сторона равна 3 см, а одна из диагоналей равна 4 см.

3*. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если известно, что высота, проведенная к боковой стороне, равна 14,4 дм, а синус угла при основании равен 4/5.

ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 19 . Окружность

ВАРИАНТ 1

1. Точки А, В, С и В лежат на окружности, ∠АВС = 42°, ∠ВАС = 24°. Найдите ∠ВDС.

2. МК — диаметр окружности, А — точка на окружности. Найдите ∠АМК, если ∠АКМ = 21°.

ВАРИАНТ 2

1. Точки А, В, С и D лежат на окружности, ∠АВС = 54°, ∠ВАС = 42°. Найдите ∠АDС.

2. МР — диаметр окружности, С — точка на окружности. Найдите ∠СРМ, если ∠СМР =14°.

ВАРИАНТ 3

1. Точки А, В и С лежат на окружности с центром О, ∠АВС = 34°. Найдите ∠АОС.

2. МТ — диаметр окружности, В — точка на окружности. Найдите ∠ВТМ, если ∠ВМТ = 32°.

ВАРИАНТ 4

1. Точки А, В и С лежат на окружности с центром О, ∠ВАС = 42°. Найдите ∠ВОС.

2. РК — диаметр окружности, А — точка на окружности. Найдите ∠АРК, если ∠АКР = 47°.

ОБУЧАЮЩАЯ РАБОТА № 20. Пропорциональные отрезки в круге

ВАРИАНТ 1

1. Хорда CD пересекает диаметр АВ в точке К. Найдите отрезки, на которые точка К делит диаметр, если радиус окружности равен 6 см, СК = 4 см, DK = 5 см.

2. В окружности с центром О проведен диаметр CD и хорды CM, MD. Найдите углы ACMD, если диаметр CD перпендикулярен отрезку ОМ.

3*. Из точки М, лежащей на окружности с центром О, опущен перпендикуляр МК на диаметр CD. Найдите длины хорд DM и СМ и перпендикуляра МК, если известно, что DK = 9, СК =16.

ВАРИАНТ 2

1. Хорды KL и МН пересекаются в точке D. Найдите отрезки, на которые точка D делит хорду KL, если KL = 14, DM = 4, DH = 12.

2. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорды АК и ВК. Найдите углы треугольника АВК, если радиус КО перпендикулярен диаметру АВ.

3*. Из точки М, лежащей на окружности с центром О, опущен перпендикуляр МК на диаметр CD. Найдите длины отрезков DK и СК, если известно, что радиус окружности равен 15, DM = 12√5.

ВАРИАНТ 3

1. Хорды KL и МН пересекаются в точке С. Определите длину отрезка CL, если СН = 6, КС = 8, МС = 4.

2. В окружности проведены хорды MN и CD, пересекающиеся в Т. Найдите углы треугольника NCT, если ∠DMN = 25°, ∠MDC = 40°.

3*. Из точки М, лежащей на окружности с центром О, опущен перпендикуляр МК на диаметр CD. Найдите длины отрезков DK и СК, если радиус окружности равен 10, СМ = 4√10.

ВАРИАНТ 4

1. Хорды KL и МН пересекаются в точке D. Найдите отрезки, на которые точка D делит хорду KL, если KL = 13, DM = 6, DH = 5.

2. В окружности проведены хорды MN и CD, пересекающиеся в Т. Найдите углы треугольника DTN, если ∠MCD = 34°, ∠NMC = 36°.

3*. Через точку С, лежащую на диаметре АВ, проведена перпендикулярная ему прямая, пересекающая окружность в точках М и N. Найдите длины отрезков АС и ВС и хорды AM, AN, ВМ, BN, если радиус окружности равен 12,5 см, МС = 12 см.