Уроки геометрии в задачах 7—8 классы - М. А. Волчкевич 2016

Расчет углов в равных треугольниках, дополнительные построения

1. Докажите, что отрезки АВ и CD на клетчатой бумаге перпендикулярны.

2. Найдите угол ВАС, изображенный на клетчатой бумаге.

3. Два квадрата имеют общую вершину. Докажите, что отрезки АВ и CD перпендикулярны.

4. Равносторонние треугольники АВС и CDK расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что прямая ВК параллельна АС.

5. На сторонах равностороннего треугольника АВС взяли точки D и Е так, что отмеченный на рисунке угол равен 60°. Докажите, что отрезки АЕ и BD равны.

6. Квадраты ABCD и DEFK имеют общую вершину D, причем вершина Е лежит на стороне АВ. Верно ли, что точки В,СиК лежат на одной прямой?

7. Один из углов треугольника в два раза больше другого. Высота, опущенная из третьего угла, делит сторону на два отрезка. Докажите, что разность этих отрезков равна одной из сторон треугольника.

8. В треугольнике АВС провели биссектрису BE. Оказалось, что ВС + СЕ = АВ. Докажите, что один из углов треугольника в два раза больше другого.

9. На боковых сторонах равнобедренного треугольника АВС взяли точки М и К так, что AM = СК. Может ли оказаться, что прямая МК не параллельна АС?

10. На стороне CD и на продолжении стороны AD квадрата ABCD взяли точки К иЕ так, что СК=АЕ. Найдите угол ВЕК.

11. Три стороны четырехугольника равны 1. Найдите его четвертую сторону, если два угла, не прилегающих к этой стороне, равны 120°.

12. Стороны треугольника равны а, Ъ и с. Напротив стороны длины а в треугольнике лежит угол 120°. Докажите, что из отрезков а, Ъ и Ъ + с можно сложить треугольник. Чему равен средний угол получившегося треугольника?

13. На сторонах ВС и CD квадрата ABCD взяли точки К и М так, что угол МАК равен 45°. Докажите, что BK-\-DM=МК.

14. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 1, а угол между ними равен 20°. Докажите, что его основание больше 1/3.

*15. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 1, а угол между ними равен 40°. Докажите, что его основание больше 2/3.

*16. На основание АС равнобедренного треугольника АВС опущена высота ВН. Из точки Н на его боковую сторону ВС опустили перпендикуляр НК. Отрезки АК и ВН пересекаются в точке О. Какой отрезок больше: ВО или ВК?

17. Вне равностороннего треугольника АВС взята точка Е так, что угол ВЕС равен 120°. Докажите, что ВЕ + ЕС = АЕ.

*18. В равностороннем треугольнике АВС взяли точку М так, что ZAMC = 150°. Докажите, что из отрезков AM, ВМ и СМ можно сложить прямоугольный треугольник.