Занимательная теория вероятности - Китайгородский А.И. 2017

Частицы, которые правят миром
Яблоко падает близко от яблони

Бытует такой анекдот. Некая кинозвезда, восхитившись талантом Бернарда Шоу, пишет ему письмо: «Предлагаю Вам свою руку и сердце. Представьте себе наших детей, унаследовавших мою красоту и Ваш ум». Ответ был краток. «Мадам, я вынужден отвергнуть Ваше предложение. Ведь может быть и так, что дети будут такими же красивыми, как я, и такими же умными, как Вы».

Жалко, что никак не угадать, на мать будет похож ребенок, на отца или на более дальних родственников. Если бы можно было это знать наперед, возможно, иной раз стоило бы воздержаться от производства потомка на свет божий.

Комбинация наследственных признаков родителей, проявляющихся в потомстве, — типично случайное явление. Поэтому удается провести прямую аналогию между наследованием ребенком красоты и разума своих родителей и игрой в карты или кости.

Задолго до проникновения в тайны строения биологического вещества ученые и практики, исследовавшие передачу наследственных признаков у быстро размножающихся животных и растений, явно или неявно пользовались представлением о материальном носителе наследственности — гене.

Еще совсем недавно никто толком не смог бы объяснить, что такое ген. Но если допустить его существование и добавить еще одну-две гипотезы, то картина передачи наследственных признаков станет ясной и, что самое главное, такая модель явления позволит делать предсказания. А поскольку вся картина носит случайный характер, то предсказания будут, разумеется, носить статистический характер.

Итак, примем, что в любом организме содержится множество разных генов. Каждый из них отвечает за тот или иной признак. Например, один определяет голубизну глаз — ген голубоглазия, другой — ген длинного носа, третий — ген вздорного характера и так далее… Каждый из них имеет своего парного антагониста. Для гена голубоглазия есть ген кареглазия, для гена длинного носа — ген короткого носа, для гена вздорного характера — ген покладистого характера.

Чтобы объяснить ряд фактов, необходимо предположить, что гены выступают в организме только парами. Возможны особи, имеющие для некоего признака пару тождественных генов — скажем, у одной два гена, заведующих голубоглазием, у другой особи — два гена кареглазия, а есть особи, у которых ген присутствует со своим парным антагонистом: один ген голубоглазия, другой — кареглазия.

Если у особи оба гена «голубые», то ее глаза будут, конечно, тоже голубые; если оба гена у нее «карие», то и глаза ее карие. А как обстоит дело, если один ген «карий», а другой «голубой»?

На этот вопрос отвечает следующий закон. Из двух антагонистических генов один подавляет другого. Тот, который берет верх, называется доминантным, а уступающий — рецессивным. А какой из пары генов является доминантным и какой рецессивным и каков «состав» генов у животного или растения, покажет только опыт, практика.

Как же, собственно говоря, происходит передача наследственных признаков?

Дочерний организм отбирает каждую пару своих генов из двух пар — материнской и отцовской. Если речь идет о гене, который может выступать в форме Г или форме К, то возможны следующие варианты передачи наследственности:

Проанализируем последнюю графу, показывающую, какие пары генов получают дети от своих родителей.

Первая строка — у всех детей один состав генов, так как родители имеют те же гены. Из второй строки видно, что половина наследников имеет генную формулу ГГ, а другая половина — формулу ГК. Наибольшее разнообразие признаков возникает у потомков в том случае, если и отец и мать их являются обладателями антагонистической пары генов (пятая строка). Тогда одна четверть потомства имеет пару одинаковых генов Г, другая четверть — пару одинаковых генов К, а половина потомства повторяет своих родителей, то есть обладает парой антагонистических генов (ГК). Вы, конечно, уже поняли, как получены формулы состава генов у детей. Ну конечно, надо «перемножить» символы; скажем, ГК × ГК = ГГ + ГК + ГК + КК, откуда ясно, что ГГ и КК выступают с «весом» в ¼, а ГК с «весом» в ½.

Чтобы ответить на вопрос, в какой форме выступает признак, надо указать, какая из форм гена является доминантной. Если речь идет о цвете глаз, то доминантной является форма К (кареглазие). То есть карие глаза будут у всех потомков, кроме тех, которые получают пару генов. К такому утверждению люди пришли после многочисленных наблюдений и исследований передачи по наследству признаков цвета.

Обратите внимание, что невозможно сделать заключение о составе генов по цвету глаз однозначно. Если глаза голубые, то состав генов наверняка ГГ, ибо Г — рецессивный признак (это выведено из опыта). Но если глаза карие, то состав генов может быть как КК, так и ГК.

Если отец голубоглаз, то его генная формула. Если мать обладает парой КК, то глаза детей будут неизбежно карими. Если же у нее пара генов ГК (вторая строчка таблицы), то половина шансов за то, что цвет глаз у детей будет таким же, как у отца. Еще один вывод: супруг не должен терзаться сомнениями, если у него родилось голубоглазое дитя, несмотря на бесспорно карие глаза обоих родителей. Вы видите, что подобное событие может произойти с вероятностью одна четвертая. Так будет, если соответствующие гены подобраны в форме ГК (пятая строка) как у отца, так и у матери.

Табличка, которую мы только что привели, позволяет судить о вероятности события, но отнюдь не является документом для жесткого предсказания. Из нее, скажем, следует, что кареглазый отец с формулой гена ГК и голубоглазая мать могут иметь как голубоглазого, так и кареглазого ребенка, и притом с равными шансами. Может ли быть в этом семействе пять голубоглазых детей? Конечно, может быть, и вероятность этого события такая же, как появление в рулетке пять раз одинакового цвета, то есть одна вторая в пятой степени (или одна тридцать вторая).

Можно представить себе передачу по наследству цвета глаз и волос, формы носа и ушных раковин и так далее следующим образом. Отец и мать протягивают будущему существу черный ящик. И в отцовском и в материнском ларце по два шара для гена каждого сорта. Будущий ребенок выбирает по одному шару из каждого ящика — один от отца, а другой от матери. Разумеется, вполне может случиться и так, что несколько детей сделают в этой несложной игре одинаковый выбор одного или нескольких генов.

Как всегда, знание вероятности события мало полезно, когда идет речь о единичном событии. Да и в случае 5—6 событий можно, руководствуясь вероятностями, сильно ошибиться, делая предсказания. Но когда речь идет о многократно повторенном опыте, то, как мы знаем, вероятностные предсказания становятся достоверными.

Родоначальник современной генетики Грегор Мендель провел громадное число опытов по скрещиванию между собой растений с разными признаками. Именно эти опыты и привели к формулировке только что описанной модели передачи наследственных признаков.

Так как количество «детей» в этих опытах измерялось сотнями и тысячами, то законы вероятности проявились достаточно отчетливо.

Вот, скажем, такой опыт. Горох с гладкими горошинками (Г), скрещенный с горохом с морщинистыми горошинками (М), дает совершенно однородное поколение: все «дети» оказываются гладкими горошинками. Значит, гладкость, согласно нашей модели, есть доминантный признак (запомним это).

А связывая особенности полученного потомства от двух сортов гороха с нашей таблицей, мы видим, что они соответствуют третьей строке таблицы. То есть «родители» должны обладать парами генов ГГ и ММ, а «дети» при этом имеют пары генов ГМ.

Чтобы проверить справедливость такой модели, скрестим между собой «детей». Вероятностная формула следующего (второго) поколения будет ¼ГГ + ½ГМ + ¼ММ. Поскольку Г доминантный признак, то вероятность появления гладких горошинок равна ¾, а морщинистых У. Следовательно, по мере увеличения числа опытов отношение числа «гладких» «внуков» и «внучек» к «морщинистым» должно стремиться к трем.

В одном из опытов Мендель нашел такие числа: 5474 и 1850, то есть отношение оказалось равным 2,95. Отклонение от теоретически вычисленной величины меньше 2 процентов. Таким образом, этот эксперимент, так же как и огромное множество других, которые были поставлены самим Менделем и другими генетиками, находятся в блестящем согласии с вычисленными вероятностями и подтверждают справедливость модели двух черных ящиков, заполненных парами шаров — по паре на каждый ген.

Огромный материал, накопленный генетиками, позволяет проводить количественную проверку вероятностных предсказаний. Располагая сведениями о результатах многих десятков экспериментов, в каждом из которых имеются, скажем, по тысяче наблюдений, можно, разумеется, построить кривую распределения признака. Она окажется близкой к «нормальной гауссовой кривой» с центром, совпадающим с теоретически вычисленной вероятностью. Любое отклонение ее от нормальной будет говорить об одном — в предположении о типе генов родителей нами допущена какая-то ошибка.

Из сказанного вытекает, что распределение признаков у потомства является основной информацией о типе генов у родителей. И те правила, о которых мы говорили, являются азбукой селекционеров. На их основе проводится практическая работа по выведению новых сортов растений и новых видов животных.