Занимательная теория вероятности - Китайгородский А.И. 2017
Частицы, из которых построен мир
Новые подходы
Теория и опыт дружно шли рука об руку. Большие успехи были достигнуты благодаря новому подходу, главная идея которого такова: нет смысла обсуждать характер движения отдельной молекулы иначе как на языке теории вероятностей.
Первоначально казалось, что вероятностный подход к молекулярным явлениям — это вынужденная и непринципиальная уступка практическим обстоятельствам.
— Конечно, — рассуждали математики и физики, — если бы мы знали в какое-то мгновение координаты всех молекул и их скорости, то могли бы предсказать судьбу мира.
— Каким образом?
— В принципе очень просто. Надо составить для каждой молекулы дифференциальное уравнение движения и затем решить эту систему.
— Простите. А сколько будет таких уравнений?
— Миллиард миллиардов или что-нибудь в этом роде.
— Но сколько потребуется?..
— Да, да, конечно, это невозможно, очень много времени потребуется. Но важно знать, что в принципе такая задача выполнима.
В XX веке подобная позиция кажется крайне наивной. Почему надо бояться признания случайности индивидуальных событий, из которых складывается наблюдаемое явление? Скорее всего это боязнь предоставить, так сказать, природе волю: вдруг она перестанет слушаться законов. Но страхи эти совершенно пустые.
Наличие в природе случайных событий ни в коей мере не означает, что у нее есть какая-то возможность выйти из подчинения законам.
Прогресс молекулярной физики приносил все время подтверждение этому принципу и в то же время ставил под сомнение строгий механический детерминизм. Действительно, что толку в возможности предсказать поведение мира в «принципе», если это практически неосуществимо. Представьте, что из миллиарда миллиардов молекул вы не знаете координаты лишь одной из них. Этого мизерного незнания достаточно, чтобы вся предопределенность в поведении системы полетела бы вверх тормашками.
Таким образом, вероятностный подход — это не подсвечник, которым забивают гвоздь в отсутствие молотка, а новый великолепный инструмент, позволяющий выполнять главную задачу науки — предсказывать факты и при этом не требующий невозможной детализации молекулярного явления. Такой подход — не паллиативная мера, а единственно правильный выход из положения.
Непонимание неизбежности вероятностного описания сложных событий лежит в основе множества заблуждений. Приняв необходимость такой перестройки во взглядах, любой неформально мыслящий человек мог бы найти выход из «парадокса свободы воли», мучившего философов многие века.
Разумеется, утверждение, что все предопределено внешними условиями, вашими знаниями и разумом, справедливо. Однако мозг человека и его нервная система — машины исключительной сложности. И практически невозможно перечислить все факторы, из которых должно выкристаллизоваться его решение о том или ином действии. Достаточно упустить пустяк, чтобы воля оказалась практически свободной, а человек — ответственным за свои поступки.
Есть классы явлений, где наука отказывается (считает бессмысленным) делать предсказание единичного события. Я не могу сказать, под каким углом отправится путешествовать электрон, прошедший через отверстие пушки кинескопа. Я не могу сказать, куда отклонится (вправо или влево) в данный момент под ударами молекул дрожащее легкое крылышко, подвешенное в сосуде с сильно разреженным газом. Я не могу сказать, в какую точку земной поверхности упадет листок, сорванный ветром с дерева. Я не могу сказать, сработает ли сейчас условный рефлекс, выработанный у собаки. Я не могу сказать, как среагирует на оскорбление именно этот юноша. Я не могу сказать, понравится ли картина Пикассо вот этой девушке… Однако это совсем не значит, что речь идет о незакономерных явлениях.
Про один электрон я ничего не могу сказать заранее. Но про миллиарды миллиардов могу. Я сумею предсказать, какая доля электронов под каким углом отклонится при выходе из отверстия. Я могу предложить формулу, которая предскажет среднюю амплитуду колебания крылышка в газе. На основании экспериментальных исследований воздушных потоков я вычислю, как уляжется лиственный покров. На основе наблюдений за собакой я сумею предсказать долю положительных ее реакций на раздражитель. Этические и эстетические ценности у каждого человека свои и зависят от его характера и воспитания. Но если я опрошу тысячи юношей и девушек, исследую их вкусы и поведение как функцию воспитания, то достаточно смело предскажу процент юношей, которые не стерпят оскорбления, и долю девушек, которым будут нравиться картины Пикассо.
Цель нашей книги — мы не раз это подчеркивали — показать всеобъемлющее значение метода исследования, использующего теорию вероятностей. Но в мире молекул вероятностный подход приобретает исключительное значение из-за того, что в обычных условиях отклонения от средних величин (флуктуации) ничтожно малы.
«Но флуктуации все же есть! — вправе возразить читатель. — Пусть они малы, но почему нельзя допустить взрыв парового котла из-за флуктуации плотности? В какой-то момент двинулись все молекулы в одну сторону, и готово. Вот вам и чудесный случай, сводящий на нет все предсказания науки».
Но не взлетают котлы на воздух без вполне реальной причины. И случайности в поведении молекул не приводят к непредсказуемому поведению вещей. Колебания давления, плотности, температуры, энергии и любых других величин, которые происходят из-за хаотичности движения молекул или, как говорят, благодаря флуктуациям, слишком ничтожны, чтобы породить чудо.
Оценим вероятность совершенно пустяковой флуктуации плотности газообразного вещества. Мысленно разделим сосуд с газом на миллиард ячеек. Теперь посчитаем, какова вероятность такого события, как удаление всех молекул из одной из этих ячеек.
Вероятность отклонения от равномерного распределения плотности подсчитывается без труда. Вероятность того, что одна молекула находится там, где нам хочется, равна 0,999999999. А вероятность нахождения во всех ячейках, кроме одной, всех N молекул будет равна 0,999999999№. На первый взгляд может показаться, что это число близкое к единице. Но не надо забывать, что речь идет об огромном числе молекул. Пусть их в сосуде всего лишь 1019. Простая арифметика показывает, что искомая вероятность будет равна 10 в степени (-4 · 1010), то есть единице, поделенной на единицу с сорока миллиардами нулей (Р = 1/(4 · 1010)).
Комментарии, как говорится, излишни.
Именно благодаря тому, что вещи, с которыми мы имеем дело в жизни, построены из невообразимо большого числа молекул, они не могут преподнести нам никаких вероятностных сюрпризов.
Новый подход привел к созданию важнейшего раздела физики: родилась статистическая физика, переписавшая на языке молекул и вероятностей всю термодинамику (учение о тепле) и проложившая неожиданные мостики между явлениями, которые, как казалось ранее, не имели между собой ничего общего.
Поговорим подробнее об этих важнейших приложениях теории вероятностей.