Занимательная теория вероятности - Китайгородский А.И. 2017

Игра
Что наша жизнь - игра

«Чекалинский стал метать, руки его тряслись. Направо легла дама, налево туз.

— Туз выиграл! — сказал Герман и открыл свою карту.

— Дама ваша убита, — сказал ласково Чекалинский.

Герман вздрогнул: в самом деле, вместо туза у него стояла пиковая дама. Он не верил своим глазам, не понимал, как мог он обдернуться».

Я не берусь в деталях объяснять читателю, в чем заключалась игра в штос, столь распространенная в высшем петербургском обществе особенно в первой половине XIX века. Но основная ее идея проста. Банкомет и понтирующий игрок берут по колоде, распечатывают их, игрок выбирает из колоды карту, на которой записывает куш или кладет на карту деньги. Банкомет начинает метать, то есть кладет в открытую карты — направо, налево, направо, налево…

Та карта, что ложится налево, дана, а направо — бита. Легла выбранная вами карта направо — банкомет забирает деньги, налево — платит вам столько, сколько было поставлено на карту. В игре есть варианты. Скажем, игроки загибают пароли, или играют мирандолем, или ставят на руте.

Не знаете, что это такое? Я тоже. Но главное состоит в том, что штос — игра с равными шансами для банкомета и партнера. Поэтому сильные в художественном отношении сцены, встречающиеся почти у всех русских романистов, где описывается умелая игра одного и беспомощная другого, лишены, так сказать, научного обоснования.

В романе «Война и мир» Долохов обыгрывает Ростова вполне планомерно. Долохов решил продолжать игру до тех пор, пока запись за Ростовым не возрастет до 43 тысяч. Число это было им выбрано потому, что 43 составляло сумму сложенных его годов с годами Сони.

Читатель верит, что смелый, резкий и решительный Долохов, которому удается все, хорошо играет в карты. А мягкий, добрый, неопытный Ростов, кажется, не умеет играть и не может выиграть. Великолепная сцена заставляет нас верить, что результат карточной борьбы предопределен.

Разумеется, это неверно. Сказать про человека, что он хорошо играет в игру, в которой проиграть и выиграть шансы одинаковы, это значит обвинить его в шулерстве.

Не знаю, как другие, но я не могу избавиться от впечатления, что Арбенин в лермонтовском «Маскараде» — вспомните сцену, когда он садится играть за князя, а зрители комментируют: «Зажглось ретивое», — знает недозволенные приемы, не допускает, чтобы они были использованы против него и не брезгует применять их сам. Только в этом смысле можно говорить, что игрок хорошо играет в штос и другие подобные игры.

Герой мог проиграть, а мог с таким же успехом и выиграть. В «честной» игре выигрыши и проигрыши будут чередоваться по закону случая. При долгой игре число удач и неудач будет, конечно, примерно одинаковым точно так же, как и число выпадов монеты орлом или решкой кверху.

Чтобы оценить реалистичность драматических событий, разыгравшихся в тот вечер, предположим, что Ростов все время ставил на карту одну и ту же сумму, скажем тысячу рублей. Чтобы проиграть сорок тысяч, нужно, чтобы число проигрышей превосходило число выигрышей на сорок.

«Через полтора часа времени большинство игроков уже шутя смотрело на свою собственную игру», — читаем мы в романе.

Таким образом, проигрыш Ростова свершился часа за два-три. Одна талия, то есть одна раскладка карт, длится, конечно, не более чем одну-две минуты. Значит, число игр было никак не меньше двухсот, скажем для определенности, 120 проигрышей и 80 выигрышей. Вероятность того, что из двухсот игр, по крайней мере, 120 будут проиграны, вычисляется по формулам теории: она близка к 0,1. Вы видите, что проигрыш Ростова — явление, не требующее объяснений, выводящих нас за рамки науки. Он мог бы и выиграть, но по замыслу Льва Николаевича ему надо было проиграть.

Есть лишь одно обстоятельство, которое нарушает равенство игроков, сражающихся в такие игры, как игральные кости или штосс, то есть в игры, где игрокам ничего не надо решать, ибо игрой не предусмотрен выбор (за исключением выбора: играть или отказаться): этим обстоятельством является богатство. Нетрудно видеть, что шансы на стороне того игрока, у которого больше денег. Ведь проигрыши и выигрыши чередуются случайно, и в конце концов обязательно встретится то, что называют «полосой везения» или «полосой невезения». Эти полосы могут быть настолько затяжными, что у партнера победнее будут выкачаны все деньги. Вычислить вероятность проигрыша не представляет труда: надо лишь возводить одну вторую в соответствующую степень. Вероятность проиграть два раза подряд — это одна четверть (¹/₂)², три раза подряд — одна восьмая (¹/₂)³, восемь раз подряд — одна шестьдесят четвертая (¹/₂)⁸. Если игра повторяется тысячу раз — а это, наверное, вполне возможно, ибо, как пишут в романах, игроки просиживают за картами ночи напролет, проигрыш 8 раз подряд будет делом обычным. Разумный игрок (да простится мне подобное сочетание слов) должен быть готов к таким «полосам», и они не должны «выбивать» его из игры вследствие опустошения карманов.

В начале XIX века к «чистым» азартным играм, не требующим от игрока даже ничтожных умственных усилий, прибавилась рулетка. На первых порах она не получила распространения, но уже к 1863 году в столице карликового государства Монако — Монте-Карло создается грандиозное рулеточное предприятие. Игорный дом в Монте-Карло быстро стал знаменит. Во многих романах и повестях Монте-Карло выбиралось местом действия, а героем — безумец, собирающийся обогатиться за счет его величества случая или, того хуже, за счет изобретения беспроигрышной системы.

Произведения эти вполне реалистичны. Если их дополнить еще полицейскими протоколами о неудачниках, покончивших с собой из-за крушения надежд стать Крезом за счет княжества Монакского, то получится увесистый отчет о пагубном очаровании, которое таит в себе игорный дом.

Наверное, можно было бы не описывать рулеточное колесо и разграфленное поле, на клетки которого бросают денежные жетоны. И все же несколько слов для читателей, незнакомых с художественной литературой о Монте-Карло, сказать стоит. Рулетка — это большая тарелка, дно которой может вращаться относительно неподвижных бортов. Дно-колесо разбито на 37 ячеек, пронумерованных от 0 до 36 и покрашенных в два цвета: черный и красный. Колесо закручивается, и на него бросается шарик. Он танцует, беспорядочно перепрыгивая из ячейки в ячейку. Темп колеса замедляется, шарик делает последние нерешительные прыжки и останавливается. Выиграло, скажем, число 14 — красный цвет.

Игроки могут ставить на красное или черное; на чет или нечет; первую, вторую или третью дюжину и, наконец, на номер.

За угадывание цвета или четности вы получаете денег вдвое больше, чем внесли на игру, за выигрыш дюжины — втрое, за выигрыш номера — в тридцать шесть раз. Эти числа строго соответствовали бы вероятностям появления, если бы не одно маленькое «но» — это ноль (зеро). Зеро — выигрыш банкомета. При нем проигрывают и поставившие на черное, и те, кто надеялся на красный цвет.

Ставя на красное, искатель счастья действует с шансом на выигрыш, равным ¹⁸/₃₇: чуть-чуть меньше половины. Но за счет этого «чуть-чуть» существует государство Монако и получают хорошие дивиденды пайщики Монте-Карло. Из-за зеро игра в рулетку уже не равноценна для игрока и банкомета. Поставив 37 раз по франку, я в среднем выиграю 18 раз, а проиграю 19.

Если я 37 раз ставлю по франку на 14-й (или какой-либо другой) номер, то в среднем я выиграю один раз из тридцати семи, и за этот выигрыш мне уплатят лишь 36 франков. Так что, как ни крути, при длительной игре проигрыш обеспечен.

Значит, нельзя выиграть в рулетку? Да нет. Конечно, можно. И мы легко подсчитаем вероятность выигрыша. Для простоты положим, что игрок пробует свое счастье каждый день. Ровно в 18.00 он появляется в казино и ставит пять раз по франку на красное.

За год игры герой встретится со всеми возможными вариантами красного и черного (точнее, не красного, так как и зеро мы отнесем к черному). Вот эти варианты:

ккккк чкккк кчккк ккчкк кккчк ккккч

ччччч кчччч чкччч ччкчч чччкч ччччк

ччккк кччкк ккччк кккчч чкчкк кчкчк

ккчкч чккчк кчккч чкккч ккччч чккчч

ччккч чччкк кчкчч чкчкч ччкчк кччкч

чкччк кчччк

Как видно, их всего 32 варианта. Один из них содержит пять к, пять — состоят из четырех к, десять — из трех к. Разумеется, те же числа будут и при подсчете черных случаев (ч).

Из составленной таблички мы сейчас увидим все «секреты» рулетной игры. Будем считать, что в году 320 дней рабочих и полтора месяца выходных: работа ведь нелегкая — сплошная трепка нервов. Количество дней с разными выигрышами и проигрышами получается от умножения на 10 числа различных комбинаций, приведенных в таблице. Таким образом, счастливых дней в «среднем» году будет десять. Но зато столько же будет «черных» дней сплошного проигрыша. На число «хороших» дней, когда фортуна откажет лишь один раз, придется столько же дней неудачных, когда лишь один раз появится красный цвет, — их будет пятьдесят. Чаще всего — по сто дней — мы встретимся со случаями, когда выигрышей выпадет три, а проигрышей — два, или наоборот, когда проигрышей три, а выигрышей — два.

Пока результат нашего сражения с рулеткой нулевой. Так что занятие можно было бы считать безобидным, если бы не упомянутое зеро. Мы говорили, что вероятность красного цвета не ¹/₂, а ¹⁸/₃₇. Поэтому проигрыши и выигрыши в среднем не уравновесятся, и год закончится с убытком для клиентов, поскольку число грустных дней для них будет несколько превышать число радостных. Например, вероятность полностью «красного» дня равна ¹⁸/₃₇ в пятой степени, а сплошь «черного» — ¹⁹/₃₇ в пятой степени. Если вы не поленитесь заняться арифметикой, то найдете, что эти вероятности равны соответственно 0,027 и 0,036. Это значит, что один «красный» день в среднем приходится уже не на 32 дня, а на 36, а один «черный» будет встречаться через 28 дней.

Я полностью отдаю себе отчет, что все эти доказательства о проигрыше «в среднем» не подействуют на азартного игрока. Из наших чисел он прежде всего обратит внимание на то, что все-таки десяток «красных» дней на год приходится. Кто его знает, подумает он, может быть, именно сегодняшний день и будет таким! Хорошо бы было, если бы этот день оказался для него «черным». Он отбил бы у него охоту к играм, и на этом он наверняка выиграл бы, дело это добром никогда не кончается.

А теперь оставим моральные поучения, к которым азартные игроки, скорее всего, глухи, и рассмотрим еще несколько рулеточных проблем.

Стоит, пожалуй, обсудить вопрос о «счастливом месяце».

«В этот летний месяц, — прочитал я в воспоминаниях какого-то любителя острых ощущений, — мне здорово везло. За весь месяц я проиграл лишь два раза, не пропустив ни одного дня».

Для простоты будем считать, что вероятность выигрыша равна одной второй (¹/₂). Тогда так же, как при составлении таблички к и ч, можно подсчитать вероятности появления «черных» дней за месяц. Что же окажется?

Выигрывать 29 и 30 дней в месяц совершенно немыслимо; 28 выигрышных дней имеют вероятность одну миллионную долю; выигрывать 27 дней в месяц можно с шансом одна стотысячная; 26 дней — одна пятнадцатитысячная; 25 дней — одна трехтысячная и 24 выигрышных дня осуществляются с вероятностью в одну тысячную. Лишь это число может внушить мне доверие к автору упомянутого мемуара. Что же касается случая, когда число «красных» дней по крайней мере в два раза больше «черных» (двадцать и десять), то это уже вполне реальная вещь, ибо соответствующая вероятность равна одной десятой. Тот, кто играет всю свою жизнь, переживал такие счастливые месяцы, но… не надо забывать, что ему пришлось претерпеть такое же число несчастливых месяцев.

Игроки в рулетку (или в другие игры, где ни расчет, ни психологический анализ «не работают») могут быть поделены на два семейства. Одни играют как попало или по приметам. Скажем, сегодня двадцать третье число, рассуждает такой игрок, это день рождения моей невесты, значит, число двадцать три принесет мне счастье. Или, думает другой, среди игроков есть некто, которому сегодня дико везет, — играю как он. И так далее до бесконечности.

Другая группа игроков пытается уловить систему. Разумеется, в этом деле никакой системы нет и быть не может. Такова уж природа случая. И тем не менее я нисколько не сомневаюсь, что по мере роста серии ккккк… число игроков, ставящих на «черное», будет непрерывно расти. «А как же иначе, — обычно рассуждают они, — ведь длинные серии одинакового цвета встречаются значительно реже. Значит, после пяти или шести «красных» уж наверное появится «черное».

Абсурдность этого рассуждения очевидна. Оно противоречит очень простой мысли: у рулетки нет памяти, рулетка не знает, что было раньше, и перед каждым броском шарик все прошлое стирает. А если так, то перед каждым броском (даже и таким, который следует после двадцати «красных») вероятность «черного» и «красного» одинакова.

Правильно? Вы не находите аргументов против этого простого рассуждения? Да их и нет.

— Позвольте, — вмешивается читатель, которого назовем рассеянным, — вы же сами писали, что длинные серии бывают редко. И чем они длиннее, тем реже выпадают.

— Ну и что же? — поддерживает автора читатель внимательный. — Это не имеет ни малейшего отношения к утверждению, что у рулетки отсутствует память.

— То есть как не имеет? — сердится рассеянный читатель. — Пять «красных» бывает реже, чем четыре, а шесть реже, чем пять. Значит, если я ставлю на «черное» после того, как «красное» вышло четыре раза подряд, я и следую теории вероятностей, которую автор пытается нам втолковать.

— Нет, не следуете. Серий из пяти «красных» ровно столько же, сколько из четырех «красных» подряд и одного «черного»: ккккк и ккккч имеют равные вероятности.

— Как так?! Ведь автор говорил пять «красных» бывает реже, чем четыре «красных»?

— Нет, мой дорогой, автор говорил не так. Из пяти игр появление «красного» цвета пять раз реже, чем появление четыре раза «красного» из пяти в любом порядке. Вы лучше вернитесь к табличке на странице 16.

Рассеянный читатель с недовольным видом листает книгу.

— Нашли? Вы видите, ккккк встречается один раз, а четыре «красных» в серии из пяти игр (ккккч, кккчк…) встречаются четыре раза.

— Так я же прав!

— Ничего вы не правы. Вариант-то ккккч всего лишь один.

— ?!!!

— Начинаете понимать? Вот в том-то и дело. Конечно, чем одноцветная серия длиннее, тем она реже встречается. Но серия в десять «красных» имеет ту же вероятность, что девять «красных» подряд с завершением на «черном» цвете. Серия в двадцать «красных» будет встречаться столько же раз, сколько серия из девятнадцати «красных» и двадцатого «черного». И так далее.

— Я, кажется, действительно понял. Как странно! На чем же тогда основывается это столь распространенное заблуждение?

— Ну это уже область психологии, — удовлетворенно улыбается внимательный читатель. — Но, мне кажется, дело здесь в том, что у игрока создается впечатление, что появление длинных серий нарушает равновесие «красного» и «черного», и рулетка должна немедленно рассчитаться за нарушение этого равновесия. А то, что такая расплата означает наличие сознания у рулетки, игроков не волнует.

Поблагодарив внимательного читателя, последуем дальше.

Другое распространенное заблуждение состоит в том, что можно наверняка выиграть, удваивая ставки. Опять же в основе этой «системы» лежит идея о редкости длинных серий. Скажем, я ставлю один франк на «красное» и проигрываю; ставлю два, опять проигрываю; ставлю четыре… В конце концов я выигрываю.

И тогда не только возвращаю свой проигрыш, но и остаюсь в определенном выигрыше. Действительно, пусть мною проигран один франк, затем два, затем еще четыре, потом восемь, то есть всего пятнадцать монет, а следующая ставка — шестнадцать — приносит удачу в 32 монеты. Итак, за потраченный 31 франк я получаю 32 франка. Чистый доход — один франк.

Кажется, что при таком поведении выигрыш обеспечен. Однако эта стратегия также порочна. Действительно, число серий ччччк равно числу серий ччччч, то есть число выигрышей на пятом броске равно числу проигрышей на этом же пятом броске, число выигрышей на шестом броске равно числу проигрышей на шестом броске и так далее. Поэтому удвоение приведет к проигрышу из-за наличия зеро даже в том случае, если у игрока очень много денег. А если их немного, то момент, когда удваивание полностью опустошит карманы, наступит весьма быстро.

Итак, нет и не может быть системы, которая позволила бы выиграть в такую игру, как рулетка, в игру чистого случая. Выиграть можно, лишь если рулетка работает не по принципу случая, например, если колесо слегка перекошено и какие-то участки оно проходит с повышенным трением. Но такую штуку надо подметить, как это сделал веселый, умный и наблюдательный герой Джека Лондона — Смок Беллью. Заметив, что из-за того, что рулетка стоит у печки и колесо ее в одном месте рассохлось, некоторые номера появляются чаще, он без труда сорвал банк.

Я читал в газетах, будто, записав длинную последовательность появления номеров рулетки какого-то игорного дома, поручили электронной вычислительной машине выяснить, с равной ли вероятностью появляются ее номера. Я уже не помню, чем заканчивалось газетное сообщение и также не уверен в его справедливости. Но идея попытаться воспользоваться для выигрыша порчей рулетки, как мне кажется, верна. Вполне возможно представить, что в какой-то момент рулетка начинает капризничать и условия равной вероятности остановки колеса начинают нарушаться.

Однако, чтобы игроки могли использовать в своих целях эту неисправность, нарушение симметрии должно быть достаточно большим. Но тогда его, наверное, раньше обнаружит крупье и устранит. Впрочем, это не моя тема, и я не собираюсь учить читателей, как обыгрывать Монте-Карло.

Чтобы покончить с играми, построенными на чистом случае, скажем несколько слов о лотереях. По сути дела, это та же рулетка, только играют в ней на номера. И номеров не 36, а много больше.

Перед тиражом денежно-вещевой лотереи число желающих приобрести билеты сильно возрастает. Потолкайтесь среди покупателей, и увидите, что одни предпочитают слепое счастье — тянут билет наудачу, другие выбирают «хороший» номер. Желающих взять билет номер 777777 очень мало. Вы можете сколько угодно убеждать жаждущих получить автомобиль за тридцать копеек, что для этого одинаково пригодны (непригодны) любые билеты (вероятность выпадения выигрыша на все номера совершенно одинакова), тем не менее вам возразят, что никогда не встречали в таблицах выигрышей номера, составленного из одних и тех же цифр. Рассуждение это ошибочно, и ошибочность его после наших разговоров о рулетке достаточно очевидна. Номер, скажем, 594766 столь же уникален, сколь и номер 777777, и, безусловно, встречается в таблицах выигрышей также редко. Но желающий поиграть в лотерею сравнивает вероятность вполне определенного номера, состоящего из семерок, со всеми номерами вроде 594766. Ясно, что номеров, похожих на этот, то есть обладающих единственной особенностью состоять из беспорядочного ряда цифр, во много раз больше, чем номеров с одинаковыми цифрами. Само собой разумеется, что вероятность выигрыша каким-либо номером вроде 594766, то есть состоящим из произвольного ряда цифр, несоизмеримо велика в сравнении с вероятностью выигрыша по одному из девяти (только девяти: из шести единиц, шести двоек… шести девяток) билетов, состоящих из одинаковых цифр. Но ведь непохожесть должна интересовать человека, выбирающего билет. Его проблема — вероятность выигрыша выбранным билетом! А вот она-то ничуть не отличается от вероятности выпадения выигрыша на номер из семерок.

Смешное заблуждение. Его психологический источник лишь один: отсутствие номера из семерок бросается в глаза, а отсутствие конкретного номера, состоящего из беспорядочной последовательности цифр, остается незаметным.