Путешествие в историю математики - Свечников А. А. 1995

Как алгебра стала геометрической

Начертите квадрат со стороной в 1 см и подумайте, чему равна его площадь. Площадь такого ква­драта будет равна 1 кв. см, так как 1 • 1 = 1 (см²). Начертите в этом квадрате отрезок, соединяющий вершины двух противоположных углов, — диагональ. Этот отрезок разделит квадрат на два равных треугольника. Один треугольник отличается от другого только по­ложением.

На проведенном отрезке — на диагонали — как на стороне по­стройте новый квадрат так, чтобы диагональ первого квадрата ста­ла стороной нового квадрата. В новом квадрате соедините попар­но вершины противоположных углов отрезками (т. е. проведите две диагонали). Второй квадрат окажется разделенным на четы­ре равных треугольника, а в пер­вом квадрате равных им будет только два треугольника; следо­вательно, второй квадрат в два раза больше первого квадрата, т. е. его площадь равна 2 см². А чему будет равна сторона второго ква­драта? Обозначим ее через х. Чтобы вычислить площадь ква­драта, надо его сторону (х) умно­жить на самое себя или х • х = 2 (см²).

Попытаемся подобрать такое число, которое при умножении на равное ему даст 2. Например, 1,5 • 1,5 = 2,25. Получили число больше двух. Следовательно, это число велико. Возьмем число меньше, чем 1,5, а именно 1,4. 1,4 • 1,4 = 1,96. Оказалось, что число 1,4 мало. Увеличим его: 1,41 • 1,41 = 1,9881. Полученное чи­сло опять меньше 2. Испытаем большее число 1,42. Получим 1,42 • 1,42 = 2,0164. Следователь­но, х < 1,42. Мы нашли 1,41 <х< 1,42, т. е. в поиске значе­ния х мы приблизились к его значению, но точного выражения для него не нашли.

Если продолжить поиск числа х, то можно еще ближе подойти к истинному значению х, но точного значения числа, которое, будучи умноженным само на себя, дало бы в произведении 2, мы никогда не найдем. Евклид доказал, что таких дробных чисел нет.

Измерить диагональ квадрата, сторона которого равна 1, и выра­зить результат точным числом нельзя. Поэтому сторону квадра­та и его диагональ назвали несоизмеримыми. Свойство несоизме­римости стороны и диагонали ква­драта было открыто пифагорийцами.

Пифагор и его последователи анализировали свойства нату­ральных чисел. Среди них они вы­деляли четные и нечетные, тре­угольные и квадратные, друж­ные, избыточные и ряд других. Однако дроби они к числам не от­носили. Пифагорийцы считали их отношениями. Много внимания они уделяли изучению пропорций. Пифагорийцы пытались найти в природе и обществе постоянные вечные законы и свести все их к числовым соотношениям. Они по­лагали основой всего существу­ющего числа и их отношения.

Пифагор открыл, что три колеб­лющиеся струны дают приятное для слуха гармоническое звуча­ние, когда длины струн соотно­сятся как 3:4:6. Обнаружив ряд замечательных свойств чисел и числовых рядов, а также зависи­мость гармонии звуков от число­вых соотношений, пифагорийцы приписали числам божественные свойства. Но когда было установ­лено существование несоизмери­мых отрезков, когда математики не нашли числа, которыми можно было бы выразить отношение двух отрезков, пифагорийцы бы­ли обескуражены. Это открытие противоречило их утверждению: «Всё есть число». Они решили со­хранить свое открытие о несоиз­меримости отрезков в тайне.

Существует легенда о том, что один из пифагорийцев разгласил эту тайну и за это боги его страш­но покарали — он погиб при ко­раблекрушении.

Научные открытия хранятся в тайне недолго. О несоизмеримо­сти отрезков узнали и другие древнегреческие математики и стали искать способы преодоле­ния создавшегося осложнения.

Греческий математик и астро­ном Евдокс (ок. 406 — 355 до н. э.) разработал теорию отношений и пропорций, в которой, чтобы избе­жать несоизмеримости, осознан­но отверг числовые значения отрезков и рассматривал отноше­ния только геометрических вели­чин, т. е. отрезков и площадей. Этот подход позволил преодолеть затруднения, возникшие с откры­тием несоизмеримых отрезков.

Перейдя к изображению чисел отрезками, греческие математи­ки стали рассматривать все ариф­метические операции как дей­ствия с отрезками и выполняли сложение, вычитание, умножение и деление посредством геометри­ческих построений. Например, о произведении ab они говорили: «Прямоугольник, содержащийся между отрезками а и b», о выра­жении а² = а • а: «Квадрат со сторо­ной а» и т. д.

Так появилась алгебра, которая оперировала не числами и не бук­вами, а отрезками, площадями и объемами геометрических фигур. В дальнейшем преобразование назвали геометрической алге­брой. Она довольно долго способ­ствовала прогрессу науки, так как давала возможность посред­ством геометрических построе­ний с последующими доказатель­ствами решать и исследовать раз­нообразные задачи из алгебры.

В «Началах» Евклида приведе­ны доказательства алгебраичес­ких тождеств:

и др. Там же дано геометрическое решение уравнений вида ab = cx и более сложных.

Алгебра древних греков со вре­мен Евклида превратилась в строгую математическую теорию. Хотя решения и доказательства посредством геометрических построений были очень громоздки и требовали много времени, все же геометрическая алгебра несколь­ко веков способствовала разви­тию науки. В геометрических до­казательствах алгебраических предложений греки достигли вы­сокого искусства, но решения практических задач они избегали.

Совсем иначе подошел к изло­жению вопросов алгебры аль-Хорезми. Он показал, что алгебра может существовать самосто­ятельно, вне геометрии.