Путешествие в историю математики - Свечников А. А. 1995

Решето, через которое просеяли числа

В натуральном ряду простые чи­сла расположены весьма зага­дочно. Заметить порядок их чередования с числами составными чрезвычайно трудно. Решить эту задачу пытались и пытаются мно­гие математики, начиная с Евкли­да.

О существовании простых чи­сел знали еще пифагорийцы. За­метив, что по мере удаления от начала натурального ряда про­межутки между простыми числа­ми возрастают, можно было пред­положить, что существует коне­чное простое число, после кото­рого в натуральном ряду пойдут только составные числа. Не удовлетворившись таким предполо­жением, Евклид сумел доказать, что это не так: наибольшего про­стого числа нет, так же как нет наибольшего числа и в натураль­ном ряду. Это положение в XVIII в. было исследовано вновь Эйле­ром, который еще раз доказал справедливость утверждения Евклида.

Долгое время математики за­труднялись выделить из нату­рального ряда простые числа, не пропустив ни одного. Греческий математик Эратосфен (III в. до н. э.) открыл довольно простой, но трудоемкий способ выделения из натурального ряда простых чи­сел. Он записывал в ряд несколь­ко натуральных чисел, исключал из него те числа, которые делятся на 2, затем те числа, которые де­лятся на 3, 4, 5, 6 и т. д. Для этого он сначала вычеркивал все числа начиная с двух через одно, т. е. четные числа, кроме двух. Затем исключал числа, которые делят­ся на 3, — эти числа расположены в ряду через два числа на третьем месте. Дальше вычеркивал ка­ждое четвертое число, т. е. числа, делящиеся на четыре. Так посте­пенно Эратосфен отсеивал все числа, которые делятся на 2, 3, 4, 5,6...

После многочисленных вычер­киваний в ряду оставались только те числа, которые не делятся ни на какое другое число, кроме еди­ницы и самое себя. Это выглядело так:

Решето Эратосфена.

Эратосфен писал числа на вос­ковой пластинке или на материа­ле, натянутом на рамку. Числа он не перечеркивал, а прокалывал палочкой, поэтому у него получа­лось подобие решета, через кото­рое как бы просеивались все со­ставные числа. С тех пор такой прием отбора (отсеивания) про­стых чисел от составных называ­ют «решето Эратосфена».

Эратосфен не стремился найти длинный ряд простых чисел. Но после него на протяжении свыше 20 столетий многие математики немало потрудились, чтобы продолжить распределение чисел на простые и составные. Настоя­щий подвиг в этом деле совершил чешский профессор Кулик (1793 — 1863). Он составил табли­цы простых и составных чисел до 100 330 201. Его таблицы были написаны мелким почерком на 4212 страницах. Кулик передал свои таблицы в дар библиотеке Академии наук Вены.

В наше время поиск больших простых чисел выполняют на электронных вычислительных машинах, которые за несколько минут могут установить, к каким числам относится заданное чи­сло. Так, например, в 1958 г. наш­ли простое число, состоящее из 969 цифр. Открыто несколько простых чисел и более крупных. Однако свойства распределения простых чисел в натуральном ря­ду так до конца и не раскрыты.

Среди простых чисел нередко встречаются смежные числа, или «близнецы», например: 3 и 5,11 и 13, 101 и 103 и др. А много ли пар таких чисел? Это пока неизвестно.

До сих пор не найдена формула, которая дала бы возможность пу­тем вычисления находить про­стые числа.

Наш соотечественник с Урала И. М. Первушин (1827 — 1900), ма­тематик-любитель, не имевший специального образования, в 1883 г. доказал, что число 2⁶¹ - 1 = 2305 843 009 213 693 951 — простое. Он вычислил его без при­менения ЭВМ, так как их в то вре­мя не существовало.

«Охота» за общей формулой, с помощью которой можно выра­зить любое простое число, нача­лась еще в древности, но до сих пор не увенчалась успехом.

Француз Пьер Ферма (1601— 1665), юрист, занимавшийся мате­матикой в часы досуга, уделил не­мало времени исследованию про­стых чисел. По его заключению, выражение 2²ⁿ + 1 при n = 0 и при любом натуральном значении п дает только простое число. Одна­ко в этом утверждении интуиция обманула П. Ферма. Спустя 100 лет великий математик Леонард Эйлер обнаружил, что при п = 0,1,2,3,4 формула верна, но при п = 52²⁵ +1 = 2³² +1 дает число 4 294 967 297, которое делится на 641 и, следовательно, не являет­ся простым. Числа вида 2²ⁿ+1 называют теперь числами Ферма.

Пьер Ферма.

Исследуя простые числа, П. Ферма установил, что если а — целое число, аn — простое, то вы­ражение (а^n-1-1) : n дает только целые числа. Например, при а = 6, n = 5 получим: (6^5-1 - 1) : 5 = (1296 -1) : 5 = 1295 : 5 = 259. (Проверьте это для а = 7, n = 5.)

Это утверждение известно как малая теорема П. Ферма.

В середине XVII в. П. Ферма высказал предположение, что для любого натурального числа n > 2 уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ не име­ет решения. Однако доказатель­ства этой теоремы он не привел, хотя записал, что открыл его. Это утверждение назвали великой теоремой Ферма. Доказать эту теорему пытались многие матема­тики. Л. Эйлер дал доказатель­ство для чисел n = 3 и n = 4.

Поиски доказательства этой теоремы привели к открытию но­вых методов доказательств в ма­тематике и сыграли значитель­ную роль в развитии этой науки. В настоящее время великая теоре­ма Ферма доказана для

С помощью ЭВМ она легко может быть проверена для любых значений n, х, у, z, но обще­го доказательства так и не найде­но.

Самые выдающиеся математи­ки много лет и труда отдали, что­бы разгадать тайну распределе­ния простых чисел в натуральном ряду. Значительный вклад в ре­шение этой проблемы внесли рус­ские математики П. Л. Чебышев (1821 — 1894), Л. Г. Шнирельман (1905 — 1938) и И. М. Виноградов (1891 — 1983). Работа по исследо­ванию загадки простых чисел продолжается и в наши дни. Так, 13 августа 1993 г. газета «Изве­стия» сообщала: «...заканчивает­ся подготовка к защите патента­ми России практических резуль­татов, полученных из общего до­казательства великой теоремы Ферма».