Прямоугольник. Параллелограмм. Квадрат. Ромб - Геометрия - Повышенный уровень - Сборник задач

2.8. Геометрия

2.8.3. Прямоугольник. Параллелограмм. Квадрат. Ромб

646. В ромб вписана окружность радиуса 5. Расстояние между точками касания этой окружности с двумя соседними рёбрами равно 6. Найдите сторону ромба.

647. В параллелограмме ABCD биссектрисы при сторонах АВ и CD пересекаются в точках К и L соответственно, причём AD > CD и KL = АВ. Найдите, во сколько раз AD больше CD.

648. В параллелограмме ABCD диагонали перпендикулярны (см. рис. 243). Докажите, что ABCD — ромб.

Рис. 243

649. Биссектриса угла BAD (∠BAD = 60°) параллелограмма ABCD пересекает продолжение прямой CD за точку С в точке N, CN = 2. Найдите BD, если АВ = 4.

650. В параллелограмме ABCD длина отрезка АВ равна 4. Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке К, а продолжение стороны CD в точке Е. Найдите длину отрезка КС, если ЕС = 1.

651. В параллелограмме сторона и большая диагональ равны соответственно 3 и √37. Найдите периметр параллелограмма, если его острый угол равен 60°.

652. В четырёхугольнике диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Докажите, что данный четырёхугольник — ромб.

653. Сторона ромба равна 5 см, а длины диагоналей относятся как 4:3. Найдите сумму длин диагоналей ромба.

654. В прямоугольнике ABCD точка М — середина ВС (см. рис. 244). Докажите, что треугольник AMD равнобедренный.

Рис. 244

655. Периметр параллелограмма равен 90, а острый угол — 60°. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении 1:3. Найдите большую сторону параллелограмма.

656. В параллелограмме ABCD биссектриса тупого угла В пересекает сторону AD в точке F. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 12 и AF : FD = 4 : 3.