Линейные и квадратные уравнения - Краткий теоретический справочник

Линейное уравнение. Уравнение вида ах + b = 0, где a и b — некоторые числа, х — переменная, называется линейным. Корни линейного уравнения

• при a ≠ 0, b ∈ R х = —b/a;

• при а = 0, b = 0 х ∈ R;

• при а = 0, b ≠ 0 х ∈ Ø.

Квадратное уравнение.

Уравнение вида ах² + bx + с = 0, а ≠ 0 называется квадратным уравнением.

Дискриминант D = b² — 4ас.

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных корня:

Если D > 0 и b — чётное, то корни квадратного уравнения могут быть вычислены по формуле:

В этом случае

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет два кратных корня (также иногда говорят, что квадратное уравнение в этом случае имеет один корень).

Если D < 0, то действительных корней нет.

Уравнение вида х² + рх + q = 0 называется приведённым квадратным уравнением. Дискриминант D = р² — 4q. При D > 0 корни этого уравнения можно найти по формулам: При D = 0 х = -p/2.

Неполные квадратные уравнения.

Если ас < 0, то то действительных корней нет.

3) ах² = 0; х = 0.

Связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения.

Если а + b + с = 0, то x₁ = 1, x₂ = c/a.

Если а + с = b (или, что то же самое, а — b + с = 0), то x₁ = -1, x₂ = -c/a.

Формулы Виета.

Если х₁, x₂ — корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0, то

Для уравнения вида х² + рх + q = 0

Разложение квадратного трёхчлена на множители.

Если D > 0, то ах² + bх + с = а(х — x₁)(x — x₂), (х₁, x₂ — корни уравнения ах² + bх + с = 0).

Если D = 0, то ах² + bх + с = а(х — x₁)², (x₁ — корень уравнения ах² + bх + с = 0).