Отображение плоскости на себя. Понятие движения - ДВИЖЕНИЯ

Цели: ввести понятие отображения плоскости на себя и понятие движения; напомнить построение фигур относительно центра и относительно оси; рассмотреть свойства осевой и центральной симметрии и закрепить их знание при решении задач.

Ход уроков

I. Анализ контрольной работы.

1. Указать ошибки, сделанные учащимися при решении задач.

2. Решить на доске задачи, вызвавшие затруднения у учащихся.

 

II. Повторение ранее изученного материала.

1. Повторение понятий точек, симметричных относительно данной прямой (оси симметрии), и точек, симметричных относительно данной точки (центра симметрии).

2. В ходе повторения нужно подвести учащихся к понятию сохранения расстояния между точками. Этой цели служат следующие задачи:

1) Для каждого из случаев, представленных на рисунке 1, а, б, в, постройте точки А1 и В1, симметричные точкам А и В относительно прямой l.

а б в

Рис. 1

2) Существует ли на плоскости такая точка, для которой нет симметричной точки относительно данной прямой?

3) Докажите, что в каждом из рассмотренных в задаче 1 случаев А1В1 = АВ.

4) Постройте точки А1 и В1, симметричные А и В относительно точки О, если:

а) точка О лежит на отрезке АВ;

б) точка О не лежит на прямой АВ.

5) Существует ли такая точка плоскости, для которой нет точки, симметричной относительно данной точки?

6) Докажите, что в каждом из рассмотренных в задаче 4 случаев А1В1 = АВ.

 

III. Изучение нового материала.

1. Ввести понятие отображения плоскости на себя и проиллюстрировать его примерами осевой и центральной симметрий.

Важно подчеркнуть, что при отображении плоскости на себя выполняются два условия:

1) каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то одна точка плоскости и 2) каждая точка плоскости оказывается поставленной в соответствие какой-то точке плоскости.

Нужно показать, что в случаях осевой и центральной симметрий выполняются оба условия.

В качестве контрпримера можно привести соответствие между точками плоскости, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие ее ортогональная проекция на данную прямую. В этом случае нарушено второе условие отображения плоскости на себя: не каждая точка плоскости оказывается сопоставленной какой-то точке, а именно любая точка, не лежащая на данной прямой, не будет сопоставлена никакой точке плоскости (плоскость отображается не на себя, а на данную прямую).

2. Решить задачи № 1148 (а) и №1149 (а).

3. Ввести понятие движения, опираясь на задачи 3 и 6, рассмотренные в начале урока.

В качестве примера отображения плоскости на себя, не являющегося движением, то есть не сохраняющего расстояния между точками, можно рассмотреть центральное подобие (гомотетию) с коэффициентом 2; учащиеся сами могут доказать, что при таком отображении расстояния между точками увеличиваются в два раза.

4. Решить задачу № 1153 для усвоения понятия, а затем по заранее подготовленному рисунку 2 решить следующую задачу: «При движении плоскости точка А переходит в точку М. В какую из обозначенных на рисунке 2 точек может отобразиться при этом движении точка В?».

Рис. 2

5. Доказать, что осевая и центральная симметрии являются движениями. После этого рассматривается теорема о том, что при движении отрезок отображается на отрезок, и следствие из нее. В ходе доказательства теоремы полезно акцентировать внимание учащихся на том, что доказательство состоит из двух частей: во-первых, доказывается, что каждая точка Р данного отрезка МN отображается в некоторую точку Р1 отрезка М1N1 и, во-вторых, что в каждую точку Р1 отрезка М1N1 переходит какая-то точка Р данного отрезка МN.

IV. Закрепление изученного материала.

1. Разобрать решение задачи № 1150.

2. Решить задачи №№ 1151, 1152 (а, б), 1158.

3. Хотя пункт 115* не является обязательным, учащиеся должны знать, что понятия наложения и движения эквивалентны, а значит, при движении любая фигура переходит в равную ей фигуру. Для лучшего усвоения материала этого пункта полезно обсудить решение задачи № 1156 и решить задачи №№ 1154, 1157, 1155.

 

V. Итоги уроков.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 113–114; ответить на вопросы 1–13, с. 303 учебника; решить задачи №№ 1149 (б), 1148 (б), 1159, 1160, 1161, 1174.

Основные требования к учащимся.

в результате изучения параграфа учащиеся должны уметь объяснить, что такое отображение плоскости на себя; знать определение движения плоскости; уметь доказывать, что осевая и центральная симметрии являются движениями и что при движении отрезок отображается на отрезок, а треугольник – на равный ему треугольник; уметь решать задачи типа задач №№ 1152, 1159, 1161.