Поурочные разработки по Геометрии 11 класс

Объем пирамиды - Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса - ОБЪЕМЫ ТЕЛ

Цель урока:

- вывести формулу объема пирамиды с использованием основной формулы объема тел.

Ход урока

I. Объяснение нового материала (п. 69.)

Докажем теорему:

Объем пирамиды равен одной трети, произведения площади основания на высоту.

Доказательство:

Сначала докажем теорему для треугольной пирамиды, затем для произвольной.

1. Рассмотрим треугольную пирамиду ОАВС с объемом V, площадью основания S и высотой h (рис. 1). Проведем ось ох (ОМ2 - высота), рассмотрим сечение A1B1C1 пирамиды плоскостью, перпендикулярной к оси ох и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим через х абсциссу точки М1 пересечения этой плоскости с осью ох, а через S(x) - площадь сечения. Выразим S(x) через S, h и х. Заметим, что ΔA1B1C1 ∞ ABC.

В самом деле A1B1 || AB, тогда ΔOA1B1 ∞ ΔOAB, следовательно,

Прямоугольные треугольники ОА1М1 и ОАМ2 тоже подобны (они имеют общий острый угол с вершиной О). Поэтому

Таким образом,

Аналогично доказывается

Итак, ΔA1B1C1 ∞ ABC, h = x/h, следовательно,

Применим теперь основную формулу для вычисления объемов тел при а = 0, b = h, получаем

2. Докажем теперь теорему для произвольной пирамиды с высотой h и площадью основания S (рис. 2). Такую пирамиду можно разбить на треугольные пирамиды с общей высотой h. Выразим объем каждой треугольной пирамиды по доказанной нами формуле и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель 1/3h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных пирамид, т.е. площадь S основания исходной пирамиды. Таким образом, объем исходной пирамиды равен 1/3Sh. Теорема доказана.

II. Решение задач (по готовым чертежам)

Дано: ABCD - правильная пирамида. АВ = 3; AD = 2√3 (рис. 3).

Найти: a) Socн.; б) АО; в) DO; г) V.

Решение:

а) (используем формулу для вычисления площади правильного треугольника).

б) (формула радиуса описанной окружности через сторону правильного треугольника).

в) (по теореме Пифагора).

г)

(Ответ: )

2. Дано: ABCDF - правильная пирамида. ∠FCO = 45°; FO = 2 (рис. 4).

Найти: a) Socн.; б) V.

Решение:

1) Рассмотрим ΔFOC: ∠O = 90°, ∠C = 45°, значит, ∠F = 45°. Следовательно, ΔFOC - равнобедренный, ОС ≈ FO = 2.

2) АС = 2OС = 4. d = AC = AD√2 (по свойству диагонали квадрата, d2 = 2а2). Тогда

3) ABCD - квадрат (пирамида правильная).

(Ответ: a) 8; 6) 5·1/3.)

3. Дано: ABCDEKF - правильная пирамида. FO ⊥ (ABC), FM ⊥ AK, FO = 4, FM = 5 (рис. 5).

Найти: a) Socн.; б) V.

Решение:

1) Рассмотрим ΔFOM: ∠O = 90° (так как FO ⊥ (ABC), значит, FO ⊥ OM) FO = 4, FM = 5. (по теореме Пифагора), OM = r (r - радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник).