Повторение вопросов теории и решение задач - Скалярное произведение векторов - МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

Цель урока:

- повторить формулы скалярного произведения в координатах, косинуса угла между данными векторами через их координаты, косинуса угла между двумя прямыми, между прямой и плоскостью.

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний

Консультанты докладывают о результатах проверки домашнего задания и один ученик у доски записывает решение № 467 б).

Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, АВ = ВС = 1/2AA1 (рис. 1).

Найти: (АС, АС1).

Решение: А(0; 1; 0), C(1; 0; 0), {1; -1; 0}, С1(1; 0; 2), {1; -1; 2}. (Ответ: 54,7°.)

Второй ученик заполняет на доске пропуски в формулах: коллинеарные, значит, k - некоторое число, г) если неколлинеарные, то ж) если тo

Остальные отвечают на вопросы:

- Как находят координаты вектора, если известны координаты его начала и конца?

- Как находят координаты середины отрезка? Длины вектора? Расстояние между точками?

- Как вы понимаете выражение «угол между векторами»?

- Какие векторы называются перпендикулярными?

- Что называется скалярным произведением векторов?

- Чему равно скалярное произведение перпендикулярных векторов?

- Чему равен скалярный квадрат вектора?

- Свойства скалярного произведения?

- Какой вектор называется направляющим вектором прямой а?

После фронтального опроса проверяется работа второго ученика (у доски) и предлагается всем учащимся самостоятельно разобрать решение задачи № 469 (а) (с последующей проверкой).

Задача № 469 а) (по задаче 2 из п. 48).

Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб, AC ∩ BD = N, = М ∈ A1D1, А1М: MD1 = 1 : 4 (рис. 2).

Найти: синус угла между MN и плоскостью ABCD.

Решение (см. рисунок): Введем систему координат. Найдем координаты направляющего вектора прямой MN и координаты вектора, перпендикулярного плоскости грани ABCD. Пусть А(1; 0; 0), тогда М(4/5; 0; 1), MK ⊥ AD, К(4/5; 0; 0), {0; 0; 1}; N(1/2; 1/2; 0);

(Ответ: )

Наиболее подготовленному ученику предлагается выполнить № 469 (а) на переносной доске с последующим разбором этого задания всем классом (при необходимости).

II. Формирование умений и навыков учащихся

Совместное решение № 471, 472 (при наличии времени - чертеж заготовлен заранее; можно предложить проговорить и записать кратко решение на доске).

№ 471. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб (рис. 3).

Доказать:

Доказательство:

1. Введем систему координат.

2. В(0; 0; 0), А(а; 0; 0), D(a; a; 0), D1(а; а; а), В1(0; 0; а).

3. {0; a; a); {-а; -а; а}.

Значит то есть AD1 ⊥ DB1.

№ 472. (кратко) - обговорить идею решения, краткая запись решения.

Дано: MNPQM1N1P1Q1 - куб (рис. 4).

Доказать: PM1 ⊥ (MN1Q1); PM1 ⊥ (QNP1).

Доказательство: Введем систему координат. Идея решения. Найти координаты векторов доказать с помощью скалярного произведения, что MN1 ⊥ РМ1 и MQ1 ⊥ РМ; сделать вывод по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, что PM1 ⊥ (MN1Q1).

Решение: M(1; 0; 0), N1(1; 1; 1), Q1(0; 0; 1), M1(1; 0; 1), {0; 1; 1}, {-1; 0; 1}, {1; -1; 1}, Значит, и MN1 ⊥ PM1. Значит, и MQ1 ⊥ PM1. Поэтому PM1 ⊥ (MN1Q1).

Аналогично доказывается, что PM1 ⊥ (QNP1).

III. Самостоятельная работа (5-7 мин.)

Уровень А

Вариант I

Даны векторы

Вычислите (Ответ: 6).

Вариант II

Даны векторы

Вычислите (Ответ: 2).

Решение:

Уровень Б

Вариант I

Вычислить угол между прямыми AB и CD, если А(√3; 1; 0), В(0; 0; 2√2), С(0; 2; 0), D(√3; 1; 2√2). (Ответ: 60°.)

Вариант II

Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если А(6; -4; 8), В(8; -2; 4), С(12; -6; 4), D(14; -6; 2). (Ответ: 30°).

Решение:

Уровень В

Вариант I

В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекается в точке N, а точка M ежит на ребре A1D1, причем А1М : MD1 = 1 : 4.

Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани DD1C1C[AA1D1D].

(Ответы: .)

Вариант II

№ 469 (б) - I, (в) - II.

Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб, AC ∩ BD = N, M ∈ A1D1, А1М : MD1 = 1 : 4 (рис. 5).

Найти: б) sin(MN,(DD1C1C)), в)

Решение: Введем систему координат так, чтобы В(0; 0; 0), АВ ∈ ох, ВС ∈ оу, ВВ1 ∈ oz, А(а; 0; 0), С(0; а; 0), D(а; а; 0), В1(0; 0; а), А1(а; 0; а), С(0; a; a), A (a; a; a), D1(а; а; а), М(а; a/5; a), N(a/2; a/2; 0).

Угол между прямой и плоскостью.

Угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

б) В ΔMFN: так как Значит, (Ответ: .)

в) Аналогично, (Ответ: .)

IV. Подведение итогов

- Мы отработали умение применять формулу скалярного произведения векторов в координатах; повторили теорию по этой теме; сформировали навык решения задач на нахождение угла между прямыми, между прямой и плоскостью.

Домашняя контрольная работа

Вариант А: № 509 (а);

Вариант Б: № 509 (б), 510 (б);

Вариант В: № 580 (а), 513 (а), 511.

Вариант А

Задача № 509 а). Дано: прямые АВ и CD; А(7; -8; 15), В(8; -7; 13), С(2; -3; 5), D(-1; 0; 4).

Найти:

Решение: , (Ответ: .)

Вариант Б

Задача № 509 б). Дано: прямые АВ и CD; А(8; -2; 3), В(3; -1; 4), С(5; -2; 0), D(7; 0; -2).

Найти:

Решение: Так как углом между прямыми считают острый угол, то (Ответ: 5/9.)

Задача № 510 б).

Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб; М - центр грани BB1С1С (Рис. 6).

Найти:

Решение:

1. Рассмотрим ΔDMD1 - равнобедренный; MD = MD1. DD1 = а; Найдем длину MD. Из ΔMKD: (по теореме Пифагора), Значит, (теорема Пифагора). Обозначим ∠D1DM = ∠D.

2. По теореме косинусов

3. (Ответ: 114°6'.)

Вариант В

№ 510 а). Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб; М - центр грани ВВ1С1С (см. рис. 1).

Найти:

Решение:

1. поэтому

2. Рассмотрим ΔАВМ: ∠В = 90°, АM - наклонная, BM - проекция; ВМ ⊥ В1С (свойство диагоналей квадрата). Тогда по теореме о трех перпендикулярах АМ ⊥ B1C, следовательно, значит, (Ответ: )

Задача № 513 а). Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб; М ∈ ВВ1, ВМ : МВ1 = 3 : 2, N ∈ AD, AN : ND = 2 : 3 (Рис. 7).

Найти:

Решение: ММ1 || AD, ND = EM = 3/5a, значит, ЕМ1 = ММ1 — ME = 2/5a. Угол между MN и (DD1C1C), то же самое, что угол между ED и (DD1C1С), а по определению угол между прямой и плоскостью это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, то есть DE = МN, а MN найдем из ΔMBN: ∠B = 90°, MB = 3/5а, (теореме Пифагора). Отсюда (Ответ: .)

Задача № 511.

Дано: ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед; ∠BAA1 = ∠BAD = ∠DAA1 = 60°; АВ = AA1 = AD = 1 (рис. 8).

Найти:

Решение:

1. BB1D1D - прямоугольник, так как BD = DD1 = 1, то BB1D1D - квадрат, значит, (теореме Пифагора);

2. А1Н ⊥ (ABC) - высота параллелепипеда. А1К ⊥ AD - высота грани (AA1D); так как ∠A = 60°, то АК = 1/2АА1 = 1/2. ВК ⊥ АВ – высота грани (ABC); BK = DE - они разделили АС на 3 равные части (по т. косинусов) АС2 = 1 + 1 + 1 = 3. Значит, Отсюда, (теореме Пифагора).

3. Из ΔАС1Н1: ∠H1 = 90°, Значит, (Ответ: )