Поурочные разработки по геометрии 10 класс

Зачет № 2 - ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Цели урока:

1) способствовать усвоению учащимися перпендикулярности прямых и плоскостей;

2) теоремы о трех перпендикулярах в ходе решения задач;

3) развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Работа по карточкам

Карточка 1

1. Докажите теоремы, устанавливающие связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

2. Решите задачу № 143 или № 213.

Карточка 2

1. Сформулируйте определение перпендикулярности прямой и плоскости. Докажите теорему, выражающую признак перпендикулярности прямой и плоскости.

2. Решите задачу № 131 или № 216.

Карточка 3

1. Докажите теорему о трех перпендикулярах.

2. Решите задачу № 150 или № 212.

Карточка 4

1. Сформулируйте определение угла между прямой и плоскостью. Расскажите о свойстве угла между прямой и плоскостью.

2. Решите задачу № 157 или № 206.

Карточка 5

1. Сформулируйте определение перпендикулярности двух плоскостей. Докажите теорему, выражающую признак перпендикулярности двух плоскостей.

2. Решите задачу № 171 или № 202.

Карточка 6

1. Докажите теорему о диагонали прямоугольного параллелепипеда.

2. Решите задачу № 195 или № 197.

Домашнее задание

Подготовиться к контрольной работе, просмотреть ранее решенные задачи.

Решение задач к зачету М 2 по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»

Карточка № 1

Задача № 143

Дано: ΔАВС - правильный; АВ = 6 см; М ∉ (ABC); АМ = ВМ = СМ = 4 см (рис. 1).

Найти: расстояние от М до (ABC).

Решение:

1. Проведем МО ⊥ (ABC).

2. ΔАОМ = ΔВОМ = ΔСОМ (как прямоугольные по гипотенузе и катету) ⇒ АО = ВО = СО, то есть О - центр описанной около ΔАВС окружности.

4. МО - расстояние от М до (ABC) и ΔМОС прямоугольный. (Ответ: 2 см.)

Задача № 213

Дано: ΔАВС и DBC - прямоугольные; D проектируется в центр ΔАВС (рис. 2).

Вычислить угол между плоскостями ΔABC и ΔDBC.

Решение: Пусть точка D1 проекция точки D на плоскость ABC. Тогда точка D1 является точкой пересечения медиан ΔАВС (центр ΔABC). АН - медиана, H - середина ВС, тогда откуда Причем АН ⊥ ВС и DH ⊥ ВС (по теореме о 3-х перпендикулярах), значит, ∠AHD - это угол между плоскостями треугольников. DH = АН (так как ΔАВС = ΔDBC), значит, Итак, (Ответ: )

Карточка № 2

2. Задача № 131

Дано: ABCD - тетраэдр, М - середина ВС, АВ = AC; DB = DC (рис. 3).

Доказать: ВС ⊥ (ADM).

Доказательство:

1. Так как АВ = АС, то ΔАВС равнобедренный. AM его медиана, следовательно, AM его высота, то есть АМ ⊥ ВС.

2. ΔBDC - равнобедренный, DM - медиана, а следовательно, высота. Таким образом, ВС ⊥ DM.

3. Получим ВС ⊥ AM, ВС ⊥ DM ⇒ ВС ⊥ (ADM). Что требовалось доказать.

Задача № 216

Дано: двугранный угол; m – ребро двугранного угла; (рис. 4).

Найти: CD.

Решение:

1. Проведем BD1 || АС так чтобы ABD1C был квадратом, то есть BD1 = а. Тогда ∠D1BD = 120°.

2. По условию BD ⊥ m, AC ⊥ m и AC || BD1, значит, BD1 ⊥ m, по теореме о трех перпендикулярах CD1 ⊥ DD1 и ∠CD1D = 90°. ΔCD1D - прямоугольный.

3. ΔD1BD: в нем D1B = BD = a; ∠D1BD = 120°. По теореме косинусов

4. (Ответ: 2a.)

Карточка № .

Задача № 150

Дано: ABCD прямоугольник; АК ⊥ (ABC); KD = 6 см, KB = 7 см, КС = 9 см (рис. 5).

Найти: Р (К; (ABC)); Р (АК; CD).

Решение:

2. АВ - проекция; КВ - наклонная ⇒ КВ ⊥ СВ.

3. ΔКВС: в нем КВ = 7 см; КС = 9 см; ∠B = 90°. По теореме Пифагора

4. ΔAKD:

5. (Ответ: AD = 4√2 см.)

Задача № 212

Дано: ΔАВС и ΔABD; точка С проекция точки D на (ABC); ∠((ABQ, (ABD)) = α, SΔABC = S (рис. 6).

Доказать:

Доказательство: Проведем в ΔАВС высоту СН, тогда СН - проекция DH на плоскость (ABC) и по теореме о 3-х перпендикулярах DH ⊥ АВ, и значит, DH высота ΔABD, ∠DHC = α, но ΔDCH - прямоугольный, поэтому Отсюда что требовалось доказать.

Карточка № 4

Задача № 157

Дано: ABCD - ромб, AC ∩ BD = О, OK ⊥ (ABC), AC ⊥ BD (рис. 7).

Доказать: КМ = KN = КР = KL, то есть О - центр вписанной в ромб окружности.

Доказательство:

1. OK ⊥ (ABC); KN ⊥ АВ; KN - наклонная. ON проекция ⇒ ON ⊥ AB.

2. Аналогично доказывается, что ОМ ⊥ ВС; ОР ⊥ AD; OL ⊥ DC.

3. ОМ = ON = OP = OL (как проекции равных наклонных).

4. К - равноудалена от всех сторон ABCD, следовательно, проектируется в центр О вписанной в него окружности.

5. ОК = 4,5 дм; АС = 6 дм; BD = 8 дм. Найти КМ. Так как AC ∩ BD = О середина АС и BD, то ВО = 4 дм; ОС = 3 дм. Тогда из ΔОВС:

(Ответ: 5,1 дм.)

Задача № 206

Дано: ΔABC; ∠A меньший; AM ⊥ (ABC); ВС = 8 см; АВ = 17 см; АС = 15 см (рис. 8).

Найти: Р (М; ВС) = МН.

Решение: Так как против меньшего угла лежит меньшая сторона, то ВС = 8 см. Проведем высоту АН в ΔАВС. Тогда по теореме о 3-х перпендикулярах МН ⊥ ВС (так как АН ⊥ ВС), а следовательно, Р (М; ВС) = МН.

Пусть АВ = 17 см; АС = 15 см, ВН = х; СН = 8 - х по теореме Пифагора откуда Таким образом ВН = 8 см, это значит, ВН = ВС и АС ⊥ ВС, то есть АН = АС; АС = 15 см; АМ = 20 см. Так как ΔMAC прямоугольный, то (Ответ: МН = 25 см.)

Карточка № .

Задача № 171

Дано: (рис. 9).

Найти: ∠(α; (ABC)).

Решение:

1. Проведем СО ⊥ α, тогда ∠CBO = 30°. Пусть в ΔСОВ СО = а, тогда СВ = 2а.

2. Проведем CD ⊥ АВ, тогда АВ ⊥ DO и по теореме, обратной теореме о 3-х перпендикулярах, ∠CDO искомый.

3. Из ΔCDB известно, что ∠CBD = 45°,

4. Из ΔCDO: (Ответ: ∠(α; (ABC)) = 45°.)

Задача № 202

Дано: ΔАВС, ∠C = 90°; CD - медиана; МА = MB = MC = 10 см. CD = 5 см (Рис. 10).

Найти: Р (М; (ABC))

Решение:

1. Так как точка М равноудалена от всех вершин прямоугольного треугольника, то она проектируется в центр описанной около ΔАВС окружности, то есть в середину гипотенузы точка D.

2. MD ⊥ AD; CD - проекция наклонной СМ, значит, MD ⊥ CD и ΔCDM имеет ∠D = 90°.

3. СМ = 10 см; CD = 5 см, по теореме Пифагора (Ответ: 5√3 см.)