Поурочные разработки по геометрии 10 класс

Угол между прямой и плоскостью - ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Цели урока:

1) ввести понятие угла между прямой и плоскостью;

2) рассмотреть задачи, в которых используется это понятие.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний учащихся

1. Индивидуальная работа у доски.

Один ученик доказывает обратную теорему о трех перпендикулярах (№ 153).

Второй ученик выполняет краткое решение домашних задач № 140, 143.

2. Пока учащиеся готовятся у доски, учитель ведет фронтальную работу с классом.

Вопросы:

- Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах (опросить 3-х учащихся).

- Что называется расстоянием между параллельными плоскостями?

- Что называется расстоянием между скрещивающимися прямыми?

- Что называется углом между прямыми?

- Что называется углом между скрещивающимися прямыми?

- По рисунку 1 назовите: перпендикуляр, основание перпендикуляра, наклонную к плоскости α, основание наклонной, проекцию наклонной на плоскость α.

- Сравните РК и PD. (РК > PD, так как перпендикуляр PD меньше любой наклонной).

- Что называется расстоянием от точки А до α?

III. Объяснение новой темы

1. Ввести понятия проекции точки на плоскость, проекции фигуры на плоскость.

Вопрос: Что называется проекцией наклонной на плоскость? (Отрезок, соединяющий основание перпендикуляра и основание наклонной.)

Смотрим на рис. 54 учебника или рис. 2 на доске.

- Что изображено на рис. 2? (Плоскость α и ).

Запишем в тетрадях:

Определение

Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости.

- Что же является проекцией М на плоскость α? (М1.)

- Что же является проекцией N на плоскость α? (N1 = N.)

Отметим вне а еще три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Соединим их попарно.

- Как построить проекцию ΔABC на α? (Провести из А, В, С перпендикуляры на α, получив точки А1, В1, C1, то есть ΔА1В1С1.)

Обозначим ΔABC фигурой F.

- Как же построить проекцию произвольной фигуры F?

Вывод:

Если построить проекции всех точек какой-нибудь фигуры F на данную плоскость α, то получим фигуру F1, которая называется (является) проекцией фигуры F на данную плоскость.

2. Докажем, что проекцией прямой (а) на плоскость (α), не перпендикулярную к этой прямой, является прямая. Рис. 55, стр. 43 учебника.

На доске рис. 3.

Учащиеся записывают краткую запись в тетрадях (учитель на доске).

Дано:

Доказать: проекцией а на α является а1.

Доказательство:

1) Проведем β через а и МН,

2) Возьмем

3) Так как то есть Н1 проекция М1 на α.

Вопрос: Что мы доказали?

Ответ: Что проекция произвольной прямой точки прямой а лежит на прямой a1.

Верно и то, что любая точка прямой a1 является проекцией некоторой точки прямой а, ⇒ а1 проекция а на α.

3. Определение угла между прямой и плоскостью (рис. 4).

0° < α ≤ 90°.

Предложить учащимся сформулировать определение.

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Запишем его кратко в тетрадях (рис. 4 и определение).

Если а1 проекция а на α, то это величина, а не фигура.

Вопрос: А что если а ⊥ α или а || α?

Ответ оформить в тетрадях в виде таблички, замечания.

Замечания:

1. Если а ⊥ α, то проекция а на α является А.

Если а || α, то проекция а на α, а1.

Понятие угла не вводим. .

IV. Закрепление изученного материала

1. Решение задачи № 165

Дано: наклонные, (рис. 5.)

Найти: ВС.

Решение:

1) ΔВАО = ΔСАО (по катету и острому углу, противолежащему катету). ОВ = ОС. ΔВАО,

2) ΔВОС: по теореме косинусов (Или ΔВОС - равнобедренный. Проведем ОН - биссектриса, медиана. ). (Ответ: 3d.)

2. Самостоятельно решить при наличии времени. Чертеж с условием на доске.

Дано: (рис. 6).

Найти: ∠ADC.

Решение: ΔABD = ΔCBD по гипотенузе и катету. Пусть AD = а, ΔАDC - равнобедренный (рис. 7).

DH ⊥ AC, DH - высота, медиана и биссектриса ∠ADC = 90°. (Ответ: 90°.)

3. При наличии времени задача 162 учебника (стр. 46, рис. 57) разобрана. Учащимся записать в тетрадь краткую запись решения и сделать вывод с учителем. (Если нет времени, на дом.)

Дано: М ∈ α, МА - наклонная, А ∈ α,

Доказать: φ0 < φ.

Доказательство:

Пояснение: AM - общая гипотенуза.

Вывод: Угол между прямой и ее проекцией на плоскость есть наименьший из углов данной прямой и прямыми, лежащими в этой плоскости и проходящими через точку пересечения данной прямой с плоскостью.

V. Подведение итогов

Вопросы: Какие новые понятия мы изучили на уроке? (Проекции точки на плоскость, проекции фигуры на плоскость, угол между прямой и плоскостью.)

Дадим определение этим понятиям (опрос 3-х учащихся). Выставление оценок.

Домашнее задание

П. 21.

Если не успели, № 162, рис. 57, стр. 46.

№ 163, 164.

Напомнить: длины отрезков касательных, проведенных из одной точки до точки касания, равны. Гипотенуза вписанного прямоугольного треугольника является диаметром окружности.

Решить задачу: Найдите периметр прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 1, а радиус описанной окружности равен 2, 5 (рис. 8).