Параллельные плоскости - ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ - ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Цели урока:

1) ввести понятие параллельных плоскостей;

2) доказать признак параллельности двух плоскостей;

3) сформировать у учащихся навыки применения этого признака при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока и сформулировать цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся

Анализ контрольной работы.

1. Подвести итоги контрольной работы.

2. Анализ ошибок, допущенных в работах.

Подготовка учащихся к восприятию нового материал.

- Сформулировать А3.

- Сформулировать утверждение 1° п. 6.

- Признаки подобия треугольников.

- Теорема об отношениях площадей подобных треугольников.

- Свойство средней линии треугольника.

III. Изучение нового материала

1. Определение параллельных плоскостей.

2. По аксиоме 3 плоскости пересекаются по прямой. Но возможен еще один случай взаимного расположения двух плоскостей, если они не имеют общей точки.

На доске схема

В тетрадях учащихся и на доске рисунки и записи.

3. Признак параллельности плоскостей.

Дано: (рис. 3).

Доказать: α || β.

Доказательство: От противного. Пусть α ∩ β = с,

1) Тогда значит, а || с (по утверждению 1 ° п. 6).

2) значит, b || с.

3) Имеем а || b, то есть через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с. Получили противоречие. Значит, α || β.

IV. Закрепление изученного материала

№ 51. (еще один признак параллельности плоскостей).

Дано: (рис. 4).

Доказать: α || β.

Доказательство: Допустим, что α и β не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с. Так как m || β, n || β, то по утверждению 1° m || с, n || с. Получаем, что через точку К проходят две прямые, параллельные прямой с, что невозможно по теореме о параллельных прямых. Получили противоречие. Значит, α || β.

№ 53. Дано: отрезки A1A2, В1В2, C1C2 не лежат в одной плоскости и имеет общую середину - точку О (рис. 5).

Доказать: А1В1С1 || A2В2С2.

Доказательство:

1) А1А2 и В1В2 лежат в одной плоскости по следствию из A1 (через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна). А1В1А2В2 - параллелограмм (диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам). Следовательно, А1В1 || А2В2.

2) Аналогично A1A2 и С1С2 лежат в одной плоскости. A1C1A2C2 - параллелограмм. Отсюда, A1С1 || А2С2.

3)

По признаку параллельности плоскостей А1В1С1 || A2В2С2.

№ 54. Дано: ΔADC. В ∉ ADC. М, N, Р - середины В А, ВС, BD соответственно. SADC = 48 см2 (рис. 6).

Доказать: a) MPN || ADC. б) Найти: SMNP.

Решение:

а) В ΔABD: МР - средняя линия, МР || AD. В ΔBCD: PN - средняя линия PN || DC. МР ∩ PN = Р, AD ∩ DC = D. По признаку параллельности двух плоскостей (MNP) || (ADC). Что и требовалось доказать.

б) ∠NMP = ∠CAD, ∠MNP = ∠ACD как углы с сонаправленными сторонами, поэтому ΔMPN ~ ΔADC по двум углам. (по теореме об отношениях площадей подобных треугольников). (по свойству средней линии треугольника) (Ответ: 12 см2.)

V. Подведение итогов (в форме текста)

1. Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?

2. Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны?

3. Плоскости α и β параллельны, прямая т лежит в плоскости α. Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β?

4. Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет только одну общую точку?

5. Боковые стороны трапеции параллельны плоскости α и плоскости трапеции?

6. Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?

7. Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей?

8. Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости?

9. Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости α, то и третья сторона параллельна плоскости α?

№ вопроса	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Ответ	да	нет	да	нет	да	нет	нет	нет	да

Домашнее задание

П. 10, № 55, 56, 57.

Задача 56

Дано: (рис. 7).

Доказать: а ⊂ α.

Решение: Мы знаем, что если некоторая прямая а пересекает плоскость α, то она пересекает также любую плоскость, параллельную α. Если а не параллельна β, то она пересекает β, а значит, и плоскость α, а по условию а || β. Значит, а не может пересекать плоскость α и, так как она имеет с плоскостью α общую точку А, то а ⊂ α.

Задача 55

Записать в тетрадь и разобрать решение задачи, приведенное в учебнике.

Задача 57

Дано: α || β, а || α.

Доказать: а || β или а ⊂ β.

Решение: Пусть а не параллельна β, тогда она пересекает β, а значит, пересекает α (задача 55 решена в учебнике). Значит, предположение неверно, то есть или а || β или а ⊂ β.