Сборник задач по математике с решениями - А. А. Рывкин, Е. Б. Ваховский 2003

Задачи
Алгебраические преобразования

Следующие ниже замечания относятся не только к этой главе, они имеют более общий характер.

Множества точек x числовой оси, удовлетворяющих неравенствам

1) а < x < b;

2) а ≤ x ≤ b;

3) а ≤ x < b;

4) а < x ≤ b;

5) x > а;

6) x < а;

7) x ≥ а;

8) x ≤ а,

где а < b, называются интервалами и обозначаются соответственно (а, b); [а, b]; [а, b), (а, b]; (а, +∞); (−∞, а); [а, +∞); (−∞, а].

Интервалы 1), 5) и 6) называются открытыми; интервал 2) называется замкнутым; интервалы 3), 4), 7) и 8) называются полуоткрытыми. Иногда вместо терминов: открытый интервал, замкнутый интервал, полуоткрытый интервал используют соответственно термины: промежуток (или интервал), отрезок (или сегмент), полуотрезок.

По определению

Для арифметического корня имеет место формула

√а² = |а|.

Иногда приходится пользоваться формулами куба суммы и разности чисел в виде

(а + b)³ = а³ + b³ + 3аb(а + b);

(а − b)³ = а³ − b³ − 3аb(а − b).

Следующая формула называется формулой сложного радикала:

(все подкоренные выражения должны быть неотрицательными).

По определению

где а ≥ 0, m, n — натуральные числа и корень арифметический.

Из этого определения следует, что степени с отрицательным основанием и дробным показателем считаются не имеющими смысла. Например,

не имеет смысла, в то время как

По определению

α⁰ = 1 при а ≠ 0.

Чтобы избежать недоразумений, удобно договориться, что знак корня используется либо для обозначения арифметического корня из неотрицательного числа, либо отрицательного корня нечетной степени из отрицательного числа.

Таким образом,

Для арифметических корней и корней нечетной степени из отрицательных чисел справедливо правило умножения и деления корней:

Правило, в силу которого показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же натуральное число, справедливо для арифметических корней и не справедливо для корней нечетной степени из отрицательных чисел.

Замечание. В качестве показателя корня используются только натуральные числа. Иногда встречаются задачи, где показатели — достаточно сложные алгебраические выражения. Во избежание путаницы лучше знак корня в таких задачах не использовать, а прибегать к дробным показателям степени.

7.1. Упростите выражение