Сборник задач по математике с решениями - А. А. Рывкин, Е. Б. Ваховский 2003

Решения
Алгебраические неравенства

Ответы к упражнениям на с. 59, 62 и 63.

1. Получим совокупность неравенств, имеющую те же самые решения.

2. Получим систему неравенств, не имеющую решений.

3. Ответ. −1 < x ≤ 1, 5 < x ≤ 7, x > 8.

4. Вначале нужно переписать неравенство в виде

(x − ⁵/₂)(zx − 3)(x − 4)² ≤ 0.

Последний множитель показывает, что точка 4 обязательно должна принадлежать множеству решений, этим его влияние ограничивается.

Ответ. ⁵/₂ ≤ x ≤ 3, x = 4.

5. Поскольку неравенство строгое, то множители, стоящие в знаменателе, и множители, стоящие в числителе, играют одинаковую роль. Данное неравенство равносильно такому:

(x + 3)²(x + 1)(x − 2)(x − 4)²(x − 5) < 0.

Достаточно решить неравенство

(x + 1)(x − 2)(x − 5) < 0

и исключить, если они попали в множество решений, точки x = −3, x = 4.

Ответ. x < −3, −3 < x < −1, 2 < x < 4, 4 < x < 5.

6. 0 ≤ ax² + bх + с < 9.

7. ax² + bх + с ≥ 9; здесь не нужно заботиться о знаке подкоренного выражения, так как после возведения в квадрат получаем неравенство, из которого следует, что это выражение положительно.

8.

(см. пример 4 на с. 62).

9. Нужно разобрать два случая в зависимости от знака правой части: если правая часть отрицательна, то неравенство удовлетворяется при всех x, при которых левая часть существует; если правая часть неотрицательна, то обе части неравенства нужно возвести в квадрат (подкоренное выражение при этом не может стать отрицательным):

10.1. Обозначим а = 1 + k. Тогда из условия а + b = 2 получим b = 1 − k. Вычислим а⁴ + b⁴:

а⁴ + b⁴ = (1 + k)⁴ + (1 − k)⁴ = 2k⁴ + 12k² + 2 = 2(k⁴ + 6k² + 1) ≥ 2,

так как k⁴ + 6k² ≥ 0 и, следовательно, k⁴ + 6k² + 1 ≥ 1.

10.2. Обозначим произведение, стоящее в левой части неравенства, через P. Так как а₁а₂ ... а_n = 1, то

(осуществлено почленное деление суммы 1 + а_i на а_i). Поскольку

то P² ≥ 4ⁿ и, следовательно, P ≥ 2ⁿ, что и требовалось доказать.

10.3. Способ 1.

Способ 2. Неравенству a^⅔ + b^⅔ > c^⅔ эквивалентно неравенство

(^a/_c)^⅔ + (^b/_c)^⅔ > 1.

Так как b < с и а < с, то основания показательных функций (^a/_c)^x и (^b/_c)^x меньше единицы и эти функции убывают. Следовательно,

(^a/_c)^⅔ + (^b/_c)^⅔ > ^a/_c + ^b/_c = 1.

10.4. Данное неравенство можно переписать так:

4x³ − 4x² + 1 ≥ 0.

Оценим левую часть:

4x²(x − 1) + 1 = −4x²(1 − x) + 1.

Так как 0 ≤ x ≤ 1, то x² ≤ x и 1 − x ≥ 0. Следовательно,

−4x²(1 − x) + 1 ≥ −4x(1 − x) + 1 = (2x − 1)² ≥ 0,

что и доказывает наше неравенство.

10.5. Каждый из входящих в неравенство корней оценим следующим образом:

Складывая полученные неравенства, придем к выводу, что

Теперь, чтобы доказать написанное в условии неравенство, остается убедиться, что в последней оценке равенство никогда не достигается. Равенство возможно лишь при одновременном выполнении равенств 4a + 1 = 1, 4b + 1 = 1, 4с + 1 = 1, т. е. при а = b = с = 0, что противоречит условию а + b + с = 1.

Итак,

10.6. Пусть b < а. Тогда

(а + b)ⁿ ≤ (2a)ⁿ = 2ⁿaⁿ < 2ⁿ(aⁿ + bⁿ).

10.7. Так как ( ^а/_b)^{x −} возрастающая показательная функция (по условию а > b) и p > q, то

Воспользовавшись формулой производной пропорции, получим

что и требовалось доказать.

10.8. Имеем n очевидных неравенств:

Первое и последнее неравенства обязательно будут строгими, так как по условию n > 1. Перемножая эти неравенства, получим

10.9. Способ 1. Обозначим ^a/_b = u, ^b/_c = v, ^c/_a = w. Тогда uvw = 1, т. е. среди чисел u, v и w есть хотя бы одно, большее 1, и одно, меньшее 1 (u = v = w невозможно, так как а, b и с не равны друг другу). Пусть u > 1, а 0 < v < 1, т. е.

(1 − u)(v − 1) > 0 или −uv + u + v − 1> 0.

С другой стороны, для чисел u, v и e выполняется неравенство

т. е. uv + w ≥ 2. Складывая это неравенство с неравенством − uv + u + v − 1 > 0, получим

u + v + w > 3, или ^a/_b + ^b/_c + ^c/_a > 3.

Способ 2. Пусть u, v и w — положительные числа, причем w — наименьшее из них: u > w, v > w. Так как u и w — положительные числа, то на них можно умножить неравенство v > w:

v(u − w) > w(u − w), т. е. uv − vw + w² > uw.

Поделим последнее неравенство на uw:

^v/_w − ^v/_u + ^e/_u > 1.

С другой стороны,

^u/_v + ^v/_u ≥ 2.

Складывая с предыдущим неравенством, получим

^u/_v + ^v/_w + ^w/_u > 3.

Если с — наименьшее из чисел а, b и с, то полагаем w = с, u = а, v = b и получаем неравенство, которое требовалось доказать. Если а или b — наименьшее из чисел а, b и с, то обозначения соответственно изменятся.

Способ 3. Пусть b = с + d₁, а = b + d₂ (d₁ > 0, d₂ > 0, т. е. а > b > с). Тогда

Это решение обобщается на случай n чисел:

т. е.

10.10. Воспользуемся формулой Герона и применим к сомножителям p − а, p − b, p − с неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим трех чисел (p − а + p − b + p − с = 3p − 2p = p):

В условие входит величина 4S, для которой мы и проведем дальнейшие оценки

Выделим в числителе слагаемое 3(а² + b² + с²), а излишек в 2(а² + b² + с²) используем для образования полных квадратов, которые поглотили бы все попарные произведения:

и тем самым неравенство доказано.

10.11. Оценим левую часть неравенства:

(x − 1)(x − 3)(x − 4)(x − 6) + 10 = (х² − 7х + 6)(х² − 7х + 12) + 10 = [(х² − 7х + 9) − 3][(х² − 7х + 9) + 3] + 10 = (х² − 7х + 9)² − 9 + 10 = (х² − 7х + 9)² + 1 ≥ 1.

10.12. Подставляя в первое уравнение x² вместо yz, преобразуем систему следующим образом:

Числа y и z являются корнями квадратного уравнения относительно u:

u² + (x − х³)u + x² = 0.

По условию числа x и z действительные. Следовательно, дискриминант

D = (x − x³)² − 4x² = x²(1 − x²)² − 4x² = x²[(1 − x²)² − 4]

должен быть неотрицательным.

Так как по условию x ≠ 0, то

(1 − x²)² ≥ 4.

Это неравенство может выполняться, если либо 1 − x² ≤ −2, либо 1 − x² ≥ 2. Второе неравенство не имеет решений, а из первого получаем x² ≥ 3, что и требовалось доказать.

10.13. Перепишем данные уравнения в виде откуда

yz = 8 − x(5 − x).

Числа y и z будут корнями уравнения

u² − (5 − x)u + x² − 5х + 8 = 0.

Так как y и z должны быть действительными числами, то дискриминант этого уравнения не может стать отрицательным ни при каких значениях x:

(5 − x)² − 4(х² − 5х + 8) ≥ 0, т. е. −3x² + 10x − 7 ≥ 0,

откуда

1 ≤ x ≤ ⁷/₃.

Так как уравнения, которым удовлетворяют x, y и z, симметричны, то аналогичные ограничения получим для y и z:

1 ≤ y ≤ ⁷/₃, 1 ≤ z ≤ ⁷/₃,

что и требовалось доказать.

10.14. Дискриминант квадратного трехчлена равен 1 − 4а. Если а < ¼, то дискриминант положителен и уравнение ax² + x + 1 = 0 имеет два различных корня:

Когда а > 0, т. е. 0 < а < ¼, то получим решения неравенства:

x < x₁, x > x₂.

Когда а < 0, то легко проверить, что x₂ < x₁. Поэтому решения запишутся в виде

x₂ < x < x₁.

Дискриминант отрицателен, когда а > ¼, а следовательно, а > 0. Неравенство удовлетворяется при всех x.

Если а = ¼, то решения неравенства запишутся в виде x ≠ −2.

10.15. Условия задачи выполняются тогда и только тогда, когда интервал 1 < x < 2 будет расположен между корнями параболы, т. е. если

Подставляя значения 1 и 2 в данный трехчлен, получим систему двух квадратных неравенств

Решая первое неравенство, найдем

^{−7 − 3√5}/₂ ≤ m ≤ ^{−7 + 3√5}/₂,

а решая второе, получим

−4 − 2√3 ≤ m ≤ −4 + 2√3.

Ответ. −½(7 + 3√5) ≤ m ≤ −4 + 2√3.

10.16. Пусть x₁ и x₂ — корни данного трехчлена. Тогда

Если корни x₁ и x₂ действительны, то из первой формулы следует, что они не могут быть оба положительными. Если оба корня отрицательны, то из второй формулы находим а > 0, а следовательно, корни x₁ и x₂ меньше а. Если а = 0, то один из корней равен −1, и условие задачи снова не выполняется. Таким образом, а < 0. При а < 0 дискриминант 1 − 4a положителен и оба корня действительные. Потребуем, чтобы меньший из них был больше а, т. е.

Это неравенство эквивалентно такому:

Возведя обе части неравенства в квадрат, мы должны позаботиться о сохранении связей, которые неявно присутствуют в этом неравенстве:

Последнее неравенство выполняется, так как мы установили, что а < 0. Первые два преобразуются к виду

Ответ. а < −2.

10.17. Так как k ≠ 0, то ветви параболы направлены вверх. Внутри интервала от −1 до +1 парабола имеет только один корень тогда и только тогда, когда на концах этого интервала трехчлен имеет разные знаки, т. е.

(k² − k − 2)(k³ + k − 2) < 0.

Разлагая каждый из трехчленов на множители, получим

(k − 2)(k + 1)(k + 2)(k − 1) < 0.

Ответ. −2 < k < −1; 1 < k < 2.

10.18. Условие, что ветви параболы направлены вверх, означает, что m > 0. Если парабола не пересекает ось Ox, то получаем систему

Если же данный квадратный трехчлен имеет действительные корни, то больший корень не должен быть положительным:

Второе неравенство второй системы (а следовательно, и вся система) не имеет решений при m > 0, так как числитель и знаменатель оказываются положительными.

Решая второе неравенство первой системы, найдем

m < −⁴/₃, m > 1.

Принимая во внимание первое неравенство, находим решение системы: m > 1.

Пусть теперь m = 0. Правая часть данного неравенства принимает вид −4x + 1 > 0, т. е. x < ¼, и неравенство удовлетворяется не при всех положительных x.

Ответ. m > 1.

10.19. Неравенство равносильно совокупности двух систем

Решая каждое из четырех неравенств, придем к новой совокупности двух систем:

Итак, 3 ≤ x < 5, 2 < x < 3.

Ответ. 2 < x < 5.

10.20. Неравенство можно переписать в виде

(x − 3)² > (x + 2)²,

откуда после раскрытия скобок и приведения подобных получим линейное неравенство.

Ответ. x < ½.

10.21. При x > 0 неравенство можно переписать в виде

Последнее неравенство равносильно системе

которая несовместна, так как несовместны два последних неравенства.

При x < 0 входящее в данное неравенство выражение

не существует.

Ответ. Неравенство не имеет решений.

10.22. Данное неравенство можно переписать так:

Получаем совокупность двух систем

Решаем первую систему

Если правая часть второго неравенства отрицательна (x > ⅓), то неравенству будут удовлетворять все x, при которых подкоренное выражение неотрицательно (x² ≤ ¼, |x| ≤ ½). Получаем интервал решений ⅓ < x ≤ ½.

Если правая часть второго неравенства неотрицательна (x ≤ ⅓), то второе неравенство можно возвести в квадрат (дополнять систему условием 1 − 4x² ≥ 0 или |x| ≤ ⅓ не нужно). После простых преобразований получим

откуда 0 < x ≤ ⅓. Объединяя интервалы 0 < x ≤ ⅓ и ⅓ < x ≤ ½, получим решение первой системы: 0 ≤ x ≤ ½.

Перейдем ко второй системе:

Условие x < 0 обеспечивает положительность правой части второго не равенства. Возведем второе неравенство в квадрат, учитывая, что |x| ≤ ½. Получим

Ответ. −½ ≤ x < 0, 0 < x ≤ ½.

10.23. Перепишем данное неравенство в виде

Так как в неравенство входит выражение

а потому

. Вынесем множитель

за скобки:

Это неравенство равносильно системе

Возведем первое неравенство системы в квадрат. При этом следует добавить условие, в силу которого выражение, «освободившееся» от влияния радикала, должно быть неотрицательным:

Так как x² − x + 1 > 0 при всех x, то первому неравенству системы могут удовлетворять только x > 0, ибо выражение справа всегда положительно. Следовательно, систему можно переписать в виде

Обозначим

тогда первое неравенство примет вид y² − 2y + 1 > 0, т. е. (y − 1)² > 0, откуда y ≠ 1. Итак,

Последняя система равносильна такой:

Ответ.

10.24. При x > 0 правая часть неравенства положительна, так как в этом случае

Возведем обе части неравенства в квадрат; получим систему

Последнее неравенство системы — следствие того, что x > 0. Перенесем во втором неравенстве 1 + x в левую часть и произведем некоторые упрощения. Получим систему

Так как x > 0, то второе неравенство можно возвести в квадрат, не добавляя при этом никаких ограничений (убедитесь в этом самостоятельно):

^{121x² + 198x + 81}/_{4x² + 36x + 81} > 1 + 2x.

Умножим неравенство на знаменатель, который при x > 0 положителен; после приведения подобных получим систему

Итак, в первом случае неравенство имеет решения: 0 < x < ⁴⁵/₈.

При x = 0 данное неравенство не удовлетворяется.

Если же x < 0, то, умножив обе части на −1, придем к неравенству

Проделав с этим неравенством преобразования, аналогичные случаю, когда x > 0, придем к выводу, что оно не имеет решений при отрицательных x.

Ответ. 0 < x < ⁴⁵/₈.

10.25. Перепишем данное неравенство в виде

т. е.

Обозначив выражение, стоящее в скобках, через y, получим квадратное неравенство

y² + y − 42 < 0,

которое имеет решения: −7 < y < 6. Итак,

Поскольку сумма

всегда положительна, то достаточно решить лишь правое неравенство:

После возведения в квадрат получим неравенство

равносильное исходному, так как корни √x и

здесь не устранены. (Заметьте, что, заменив выражение √x

на

мы могли нарушить равносильность.) После второго возведения в квадрат придем к системе

Ответ. 0 ≤ x < ⁸⁴¹/₁₄₄.

10.26. Неравенство удобно переписать в виде

Оно равносильно совокупности двух систем

Решая последнее неравенство каждой из систем, найдем −|а| ≤ x ≤ |а|.

Так как в первой системе x > 0, то для нее получим решения:

0 < x ≤ |а|, а ≠ 0.

Перейдем ко второй системе. Решая второе неравенство, получим

−^|а|/_√5 < x < ^|а|/_√5.

Мы приходим к системе

решениями которой будут значения из интервала −^|а|/_√5 < x ≤ 0 при а ≠ 0. Остается объединить решения двух систем.

Ответ. При а ≠ 0: −^|а|/_√5 < x ≤ |а|; при а = 0 неравенство не имеет решений.

10.27. Приведем степени, входящие в данное неравенство, к основанию 2 и поделим на 2^√x 2^x:

2^{x − √x} ≤ 3 + 4 · 2^{√x − x};

обозначив 2^{x − √x} = y, получим

y ≤ 3 + ⁴/_y,

а так как y > 0, то

y² − 3y − 4 ≤ 0.

Корни трехчлена: −1, 4; так как меньший корень отрицателен, то получаем

2^{x − √x} ≤ 4,

т. е. x − √x ≤ 2. Обозначим √x = z и найдем решения неравенства

z² − z − 2 ≤ 0.

Получим −1 ≤ z ≤ 2. Левое неравенство выполняется, если только √x существует. Остается √x ≤ 2, т. е. 0 ≤ x ≤ 4.

Ответ. 0 ≤ x ≤ 4.

10.28. Перепишем неравенство в виде

3^√x(3 + x − 2x²) − 2(−2x² + x + 3) < 0,

или

(3^√x − 2)(−2x² + x + 3) < 0.

Последнее неравенство^[20] равносильно совокупности систем

Решая первую систему, получим

Так как −1 <

<

= 1 < ³/₂, то окончательно получим x > ³/₂.

Вторая система дает нам следующее:

Ответ.

10.29. Если x > 0, то неравенство равносильно такому:

^{(x − 1)2x − 1}/_{3 − x} < 0, т. е. ^{(x − 1)(x − ½)}/_{x − 3} > 0.

Воспользовавшись методом интервалов, получим ½ < x < 1, x > 3. Если x = 0, то левая часть неравенства обращается в выражение 0^−⅓ , которое не имеет смысла.

При x < 0 показатель степени должен быть целым числом, т. е. ^{2x − 1}/_{3 − x}, откуда x(2 + n) = 3n + 1. Так как при n = −2 последнее уравнение не удовлетворяется, то

x = ^{3n + 1}/_{2 + n}.

Из условия x < 0 находим x = ^{3n + 1}/_{2 + n} < 0 и, следовательно, −2 < n < −⅓. Единственное целое число в этом интервале n = −1, а соответствующее ему значение неизвестного x = −2. Проверяем это значение, подставляя его в первоначальное неравенство: (−2)⁻¹ < 1.

Ответ. x = −2, ½ < x < 1, x > 3.

10.30. Предположим, что основание больше единицы, т. е. 4x² + 12x + 10 > 1, или (2x + 3)² > 0. Это имеет место при всех x, кроме x = −³/₂. При x = −³/₂ основание равно единице, и, следовательно, исходное неравенство удовлетворяется. Если же x ≠ −³/₂, то оно равносильно неравенству

|х³ − 5х + 2| ≥ x − 2,

которое заведомо удовлетворяется при x − 2 ≤ 0, т. е. при x ≤ 2. Пусть теперь x > 2. Разложим трехчлен на множители:

|х³ − 5х + 2| = |х³ − 4x − (x − 2)| = |x − 2| |х² + 2x − 1| = (x − 2)|х² + 2x − 1|.

Так как x > 2, то получаем равносильное неравенство

|х² + 2x − 1| ≥ 1,

а поскольку x² + 2x − 1 = x² + 2(x − ½) > 0, то

х² + 2x − 1 ≥ 1, или x² + 2(x − 1) ≥ 0.

Последнее неравенство удовлетворяется при любом x > 2.

Ответ. x − любое действительное число.

10.31. Так как x > 0, то вместо неравенства

можно написать

Если а > 1, то при логарифмировании по основанию а знак неравенства не изменится:

(log_а x)² > 2,

откуда log_a x < −√2, log_a x > √2, т. е.

Если 0 < а < 1, то (log_a x)² < 2 и

Ответ. При 0 < a < 1,

при а > 1,

x > a^√2.

10.32. Если x > 0, то получаем неравенство, равносильное данному:

откуда 0 < x < 1.

Значение x = 0 удовлетворяет исходному неравенству. Если же x < 0, то непременно

^{5x + 2}/_{5x + 10} =n,

где n — целое. Из условия x < 0 находим

x = ^{10n − 2}/_{5 − 5n} < 0,

откуда n < ¹/₅, n > 1, или n ≠ 1. Мы получили бесконечное множество значений x. Чтобы выбрать из них подходящие, разберем два случая, в зависимости от того, четное или нечетное число n. Когда n = 2k, данное неравенство можно переписать в виде |x|^2k < 1, т. е. (|x| − 1)k < 0. Поскольку x < 0, то получаем (x + 1)k > 0. Так как x = ^{20k − 2}/_{5 − 10k}, то

откуда k < −³/₁₀, 0 < k < ½. Так как k — целое, то k = −1, −2, −3, ... . Получаем серию решений первоначального неравенства: x = ^{20k − 2}/_{5 − 10k}, k = −1, −2, −3, ... .

Пусть теперь n = 2k + 1. Тогда x = ^{10(2k + 1) − 2}/_{5 − 5(2k + 1)} = −^{10k + 4}/_5k. Так как x < 0, то исходное неравенство при этих значениях n удовлетворяется, если n ≠ 1, т. е. k ≠ 0.

Ответ. 0 ≤ x < 1, x = ^{20k − 2}/_{5 − 10k}, k = −1, −2, −3, ...; x = −^{10k + 4}/_5k, k = ±1, ±2, ±3, ... .

10.33. Данное неравенство эквивалентно неравенству

0 ≤ log₂ ^{3 − 2x}/_{1 − x} < 1.

(Ограничение слева обеспечивает неотрицательность числа, стоявшего под знаком квадратного корня.)

Поскольку 0 = log₂ 1, 1 = log₂ 2 и основание логарифмов больше единицы, последнее неравенство можно записать так:

1 ≤ ^{3 − 2x}/_{1 − x} < 2.

Требование положительности числа ^{3 − 2x}/_{1 − x}, которое могло быть нарушено при таком преобразовании, выполняется здесь автоматически.

Поскольку неравенство 1 ≤ y < 2 эквивалентно неравенству ^{y − 1}/_{y − 2} ≤ 0, получаем

Ответ. x ≥ 2.

10.34. Данное неравенство равносильно системе

0 < |^{x − 1}/_{2x + 1}| < 1.

Тем самым мы обеспечили положительность числа, стоявшего в условии под знаком логарифма. Левое неравенство можно заменить условием x ≠ 1. Тогда получим систему

Эту систему можно преобразовать так:

Входящее в эту систему неравенство можно возвести в квадрат, не нарушая его равносильности:

(x − 1)² < (2x + 1)²,

т. е. 3x² + 6х > 0, откуда x < −2, x > 0. Итак,

Ответ. x < −2, 0 < x < 1, x > 1.

10.35. Приведем все логарифмы, участвующие в неравенстве, к основанию 5:

Последнее из преобразований правой части неравенства требует, вообще говоря, ограничения x ≠ 1. Однако это значение неизвестного оказывается «запретным», поскольку в левой части остается выражение, содержащее log₅ x в знаменателе. Получаем равносильное неравенство

которое преобразуется к виду

допускающему применение метода интервалов. Итак,

log₅ x < −½, 0 < log₅ x < log₅ 3.

Ответ. 0 < x < ¹/_√5, 1 < x < 3.

10.36. Так как log_½ N = −log₂ N, то данное неравенство перепишем в виде

log₂ (2^x − 1)log₂ (2^{x + 1} − 2) < 2.

Преобразуем второй сомножитель:

log₂ (2^{x + 1} − 2) = log₂ [2(2^x − 1)] = 1 + log₂ (2^x − 1).

Обозначив log₂ (2^x − 1) = y, получим квадратное неравенство

y(y + 1) < 2, или y² + y − 2 < 0,

решения которого лежат в интервале

−2 < y < 1.

Вспоминая, чему равен y, получим

−2 < log₂ (2^x − 1) < 1,

¼ < 2^x − 1 < 2, ⁵/₄ < 2^x < 3.

Ответ. log₂ 5 − 2 < x < log₂ 3.

10.37. Преобразуем левую часть неравенства:

Неравенство

log_{|x + 6|} (х² − x − 2) ≥ 1

равносильно совокупности двух систем

Второе неравенство первой системы равносильно совокупности систем решая которые найдем

x ≤ −2, x ≥ 4.

Таким образом, первая система может быть приведена к виду

и ее решениями будут интервалы:

x < −7, −5 < x ≤ −2, x ≥ 4.

Решая второе неравенство второй системы, получим −2 ≤ x ≤ 4, а третье неравенство имеет решения x < −1, x > 2. Следовательно, система принимает вид

т. е. не имеет решений.

Ответ. x < −7, −5 < x ≤ −2, x ≥ 4.

10.38. Обозначим log_а x = y. Неравенство примет вид

^{1 + y²}/_{1 + y} > 1.

Так как 1 + y² > 0, то и 1 + y > 0. Поэтому данное неравенство равносильно системе

т. е.

Получаем два интервала решений:

−1 < y < 0, y > 1.

Так как y = log_а x, то нужно рассмотреть два случая.

Во−первых, если а > 1, то log_а x − функция возрастающая и мы получим два интервала решений:

¹/_a < x < 1, x > а.

Если же 0 < а < 1, то получим другие два интервала решений:

1 < x < ¹/_a, 0 < x < а.

Ответ. При а > 1: ¹/_a < x < 1, x > а; при 0 < а < 1: 0 < x < а, 1 < x < ¹/_a.

10.39. Перейдем к основанию k:

где y = log_k x. Последнее неравенство можно переписать так:

Выражение, стоящее в числителе, всегда положительно. Поэтому решением неравенства будут два интервала:

y < −1, y > 0.

Вспоминая, что y = log_k x и 0 < k < 1, найдем соответствующие интервалы для x.

Ответ. 0 < x < 1, x > ¹/_k.

10.40. Поскольку 4^x − 6 должно быть больше нуля, то x > 1. Следовательно, приходим к системе неравенств

Решая второе неравенство системы, найдем x > log₂ √7.

Третье неравенство перепишем в виде системы

решением которой будет интервал log₂ √6 < x ≤ log₂3. Так как log₂ √7 > log₂ √6, то получим решение данного неравенства.

Ответ. log₂ √7 < x ≤ log₂ 3.

10.41. Данное неравенство эквивалентно такому:

Знаменатель всегда положителен. Поэтому

|х² − 4x| + 3 ≥ x² + |x − 5|,

остается раскрыть знаки абсолютной величины. Нанесем точки 0, 4, 5 на числовую ось и рассмотрим четыре случая.

Если x < 0, то получаем систему

которой удовлетворяет полупрямая x ≤ −⅔.

Если 0 ≤ x ≤ 4, приходим к системе

решением которой будет отрезок 1 < x < 2.

Если 4 < x ≤ 5, то наше неравенство примет вид x² − 4x + 3 ≥ x² + 5 − x, откуда x ≤ −⅔. Это не удовлетворяет условию 4 < x ≤ 5, а потому в данном случае решений нет.

Остается случай x > 5. Раскрывая знаки абсолютных величин, получим x ≤ ⁸/₅. Здесь снова нет решений.

Ответ. x < −⅔; ½ ≤ x ≤ 2.

10.42. Из условия следует, что x > 2. Поэтому x³ − 7 > 0, а также x − 1 > 1 и (x − 1)² > 1. Данное неравенство равносильно такому:

Так как x − 1 > 0, то

Поскольку x³ − ⁷/₂ > 0, то ограничение x > 2 достаточно для того, чтобы следующие преобразования приводили к равносильным неравенствам:

После упрощений последнее неравенство сведется к квадратному: −4x² + 5x + ³/₂ ≥ 0, имеющему решения −¼ < x < ³/₂. Так как, кроме того, x > 2, то исходное неравенство не имеет решений.

Ответ. Решений нет.

10.43. Так как первый сомножитель положителен, то, чтобы неравенство удовлетворялось, необходимо

log₂ (2 − 2x²) > 0, т. е. 2 − 2x² > 1, √2|x| < 1,

откуда

0 ≤ √2|x| < 1 и −1 ≤ √2|x| − 1 < 0.

Следовательно, |√2|x| − 1| ≤ 1. Таким образом, первоначальное неравенство может удовлетворяться только, если

log₂ (2 − 2x²) ≥ 1, или 2 − 2x² ≥ 2, −x² ≥ 0,

т. е. x = 0. Проверкой убеждаемся, что x = 0 является решением неравенства.

Ответ. x = 0.

10.44. Так как

, то перепишем неравенство следующим образом:

Обозначив log₃ ^{x + 1}/_{x − 1} = y, получим log₂ y < 0, откуда

0 < y < 1, т. е. 0 < log₃ ^{x + 1}/_{x − 1} < 1,

а потому 1 < ^{x + 1}/_{x − 1} < 3.

Последнее неравенство можно записать так:

(^{x + 1}/_{x − 1} − 1)(^{x + 1}/_{x − 1} − 3) < 0

(если некоторое выражение заключено между двумя числами, то разности между ним и каждым из этих чисел имеют разные знаки).

После выполнения действий в скобках и небольших упрощений получим

^{x − 2}/_{(x − 1)²} > 0,

откуда x > 2.

Ответ. x > 2.

10.45. Если 0 < x² − 1 < 1, то придем к системе

Так как последнее неравенство следует из первого, то получаем такую систему:

откуда 1 < x < √2.

Если x² − 1 > 1, т. е. x² > 2, то приходим ко второй системе:

откуда x > ^{3 + √5}/₂.

Ответ. 1 < x < √2, x > ^{3 + √5}/₂.

10.46. Перепишем неравенство в виде

Равносильность при этом не нарушается, так как оба выражения в квадратных скобках (полученное и данное в условии) существуют одновременно при x > 0. Выясним, когда основание положительно и когда оно отрицательно (если оно равно нулю, то неравенство не удовлетворяется). Для этого воспользуемся условным символом V, обозначающим сравнение левой и правой частей, и не будем нарушать равносильность при преобразованиях:

Преобразуем первое соотношение, имея в виду, что x − положительное число:

Итак, при

основание положительно, а при

оно отрицательно. Из отрицательных значений основания мы должны рассмотреть лишь те, при которых x − 4, а следовательно и x, — четное число. Среди чисел, заключенных в интервале

, есть только одно четное: x = 2. Подставим это число в левую часть исходного неравенства:

Таким образом, x = 2 не удовлетворяет данному неравенству.

Пусть теперь основание положительно, т. е.

. Тогда неравенство (1) равносильно такому:

т. е.

(пояснения приведены во втором указании на с. 192). В последнем неравенстве основание степени положительно, так как x > 0. Следовательно, его можно преобразовать к виду

т. е.

Мы рассматриваем случай

. Решив неравенства

получим, что выражение

больше нуля, когда x > 6, равно нулю, когда x = 6, и меньше нуля, когда

Таким образом, вместо неравенства (2) можно записать

(x − 6)(x − 4) ≥ 0,

т. е.

Ответ.

10.47. Данное неравенство может выполняться только в том случае, если дискриминант стоящего в левой части квадратного трехчлена относительно x положителен, т. е.

Решением этого неравенства будут

log_0,5 y² < −3, log_0,5 y² > 1.

В первом случае получим y² > 8, во втором 0 < y² < ½.

Ответ. y < −√8, −¹/_√2 < y < 0, 0 < y < ¹/_√2, y > √8.

10.48. Для ответа на вопрос задачи нужно найти такие значения а, что множество решений второго неравенства не у́же множества решений первого. Таким образом, если y первого неравенства есть решения, они все должны попасть в интервал (−3, −1).

Корнями квадратного трехчлена

х² − а(1 + а²)x + а⁴

будут числа а и а³. Когда они совпадают (а = ±1, а = 0), ветви параболы направлены вверх и квадратный трехчлен не может стать отрицательным.

Докажем, что следствием неравенства, не имеющего решений, является любое неравенство. В частности, любое решение первого неравенства при а = 0, ±1 содержится среди решений второго. Предположим, что это не так. Тогда существует решение первого неравенства, не удовлетворяющее второму. Мы приходим к противоречию с тем фактом, что первое неравенство в рассматриваемых случаях вообще не имеет решений.

Если же корни различны (а ≠ а³), то оба они должны попасть в интервал [−3, −1]

т. е.

Ответ.

10.49. Сначала решим строгое неравенство

Оно равносильно системе

При а ≤ 1 решений y этой системы нет. При а > 1 ее решениями будут значения x, для которых 1 < x < а.

Остается выяснить, какие значения x удовлетворяют уравнению

(4)

Это уравнение равносильно совокупности двух систем:

Поскольку в первой системе x = 1, то x ≠ 2; остается обеспечить, чтобы а − 1 ≥ 0, т. е. а ≥ 1.

Итак, при каждом а ≥ 1 есть решение x = 1, а при каждом x ≠ 2 есть решение x = а. (При а = 1 эти решения совпадают.)

Решение второй системы при а ≠ 2: x = а. Остается объединить решения неравенства (3) и уравнения (4).

Ответ. При а ≤ 1 имеем x = а; при 1 < а < 2 имеем 1 ≤ x ≤ а; при а = 2 имеем 1 ≤ x < 2; при а > 2 имеем 1 ≤ x ≤ 2, x = а.

10.50. Поскольку

х² + 8х + 15 = (x + 3)(x + 5), а x² + 7х + 10 = (x + 2) (x + 5),

то данное неравенство можно записать в виде

(x + 5)[(x + 3) · 2^{2 + x} − (2 + x)] > 0. (5)

При x + 5 = 0 исходное неравенство не удовлетворяется. Поэтому (5) равносильно совокупности двух систем:

Далее придется рассмотреть случаи x + 3 < 0 и x + 3 > 0 (при x + 3 = 0 неравенство (3) удовлетворяется!). Располагая точки x = −5 и x = −3 на числовой оси, мы получим три интервала x < −5; −5 < x < −3; x > −3. Соответственно, приходим к совокупности трех систем неравенств:

Построим графики функций

y₁ = 2^{2 + x}, y₂ = 1 − ¹/_{x + 3}

(рис. P.10.50).

Просто сослаться на график и указать интервалы решений нельзя. График подскажет, какие сравнения нужно привести для решения неравенства.

При всех x < −5 получим, что y₂ > 1, а y₁ < 1, т. е. y₁ < y₂: второму неравенству первой системы значения x < −5 не удовлетворяют.

При −5 < x < −3 также y₁ < 1, а y₂ > 1 и снова y₁ < y₂. Однако на этот раз второе неравенство второй системы удовлетворяется.

При x > −3 второе неравенство третьей системы вновь удовлетворяется. В самом деле, при −3 < x < −2, y₁ > 0, а y₂ < 0, т. е. y₁ > y₂. Далее при x ≥ −2 имеем у₁ ≥ 1, 0 < y₂ < 1, т. е. снова у₁ > y₂. Остается вспомнить, что x = −3 было решением (5).

Ответ. x ∈ (−5; +∞).

10.51. Ясно, что подставлять интересующие нас значения x в данное неравенство и проверять, удовлетворяется ли это, не нужно. Проще это неравенство решить. Так как lg 5 ≠ ½, то |0,5 − lg 5| > 0, т. е.

Любое число а ^ 0 можно записать в виде а = |а| sign а, где

— функция, соответствующая знаку числа а. Поэтому из (6) получаем

Определим теперь знак выражения

0,5 − lg 5 = lg √10 − lg 5 = lg ^√10/₅ < lg ⁴/₅ < lg 1 = 0.

Следовательно, sign (0,5 − lg 5) = −1, т. е. решением неравенства (6) будут значения x ≤ −1.

Ответ. −4, −1.

10.52. Так как (√5 + 2)(√5 − 2) = 1, то данное неравенство можно преобразовать к виду

(7)

Знаменатель всегда положителен, если x ≥ 0. Требование x ≥ 0 сохраняется, если существует числитель. Поэтому (7) равносильно неравенству

(√5 − 2) ^{x + √x − 6} ≤ 1. (8)

Поскольку 0 < √5 − 2 < 1, то (8) равносильно неравенству

x + √x − 6 ≥ 0. (9)

Трехчлен y² + y − 6 (где y = √x) имеет корни −3 и 2. Поэтому решением неравенства

y² + y − 6 ≥ 0

будет совокупность значений y ≤ −3, y ≥ 2. У неравенства √x ≤ −3 решений нет. Остается √x ≥ 2, т. е. x ≥ 4.

Ответ. [4, +∞).

10.53. Обозначим log₂x = y и запишем неравенство в виде

1 + y² ≤ |y| (4x − x² − 2),

или

1 + y² ≤ |y| [−(x² − 4x + 4) + 2],

т. е.

1 − 2|y| + |y²| ≤ |y|(−x² + 4x − 4).

Итак,

(1 − |y|)² ≤ −|y|(x − 2)².

Неравенство удовлетворяется только в том случае, если обе его части равны нулю. Это может быть только при |y| = 1, тогда (x − 2)² ≤ 0, т. е. x = 2.

Ответ. 2.