Сборник задач по математике с решениями - А. А. Рывкин, Е. Б. Ваховский 2003
Задачи
Обратные тригонометрические функции
Определения обратных тригонометрических функций приводят к следующим соотношениям.
Если arcsin x = α (−1 ≤ x ≤ 1), то sin α = x и −π/2 ≤ α ≤ π/2 .
Если x ≥ 0, то 0 ≤ α ≤ π/2 ; если x ≤ 0, то −π/2 ≤ α ≤ 0.
Если arccos x = α (−1 ≤ x ≤ 1), то cos α = x и 0 ≤ α ≤ π.
Если x ≥ 0, то 0 ≤ α ≤ π/2; если x ≤ 0, то π/2 ≤ α ≤ π.
Если arctg x = α, то tg α = x и −π/2 < α < π/2.
Если x ≥ 0, то 0 ≤ α < π/2 ; если x ≤ 0, то −π/2 < α ≤ 0.
Если arctg x = α, то ctg α = x и 0 < α < π.
Если x ≥ 0, то 0 < α ≤ π/2; если x ≤ 0, то π/2 ≤ α < π.
Имеют место следующие соотношения[14]:
arcsin x + arccos x = π/2; arctg x + arcctg x = π/2;
arcsin (−x) = −arcsin x; arctg (−x) = −arctg x; arccos (−x) = π − arccos x; arcctg (−x) = π − arcctg x.
22.1. Докажите, что
2 arctg ¼ + arctg 7/23 = π/4.
22.2. Представьте выражение
arctg 7/9 + arcctg 8 + arcsin √2/4
в виде значения функции arcsin x.
22.3. Представьте выражение
arctg (−2) + arcsin ⅓ + arctg (−⅓)
в виде значения лишь одной обратной тригонометрической функции.
22.4. Вычислите сумму
22.5. Найдите
arccos (sin π(x² + x − З)),
если
22.6. Докажите, что если 0 ≤ x ≤ 1, то
22.7. Докажите, что выражение arcsin
не зависит от x, если x < −1, и упростите его в этом случае.
Решите уравнения:
22.8. tg (З arcsin x) = 1.
22.9. arcsin 3x/5 + arcsin 4x/5 = arcsin x.
22.10. arcsin 2x + arcsin x = π/3.
22.11. arctg (2 + cos x) − arctg (2 cos² x/2) = π/4.
22.12.
22.13. arctg (x − 1) + arctg x + arctg (x + 1) = arctg Зx.