Сборник задач по математике с решениями - А. А. Рывкин, Е. Б. Ваховский 2003

Задачи
Тригонометрические неравенства

Решите неравенства:

14.1. |sin x| > |cos x|.

14.2. 1 − sin x + cos x < 0.

14.3. sin x − З cos x < 0.

14.4. 2 cos 2х + sin 2х > tg x.

14.5. cos x tg 2х ≤ 0.

14.6. 6 + cos 2х + 13 cos x ≥ |5 − 2 cos 2х − 6 sin² x − З cos x|.

14.7. Найдите решения неравенства

sin 2х > √2 sin² x + (2 − √2) cos² x,

лежащие в интервале (0, 2π).

14.8. При каких значениях α, 0 ≤ α ≤ π, уравнение

2х² − 2(2 cos α − 1)x + 2 cos² α − 5 cos α + 2 = 0 имеет различные действительные корни? Исследуйте знаки корней.

Решите неравенства:

14.9.

14.10.

14.11.

14.12. tg x tg 3x < −1.

14.13.

14.14. Найдите все значения x из интервала 0 < x < π, удовлетворяющие неравенству

14.15. Докажите, что при любом а имеет место неравенство

4 sin 3α + 5 ≥ 4 cos 2α + 5 sin α.

14.16. Решите неравенство

a² sin² x ≤ sin² 3x, а > 0.

14.17. При каких значениях x и у выражение

(2 cos t + ½ cos x cos у ) cos x cos у + 1 + cos x − cos у + cos 2t

положительно при всех значениях t? Укажите, где на координатной плоскости расположены точки (x, у), удовлетворяющие этому условию.