Государственная итоговая аттестация по алгебре (факультативное занятие) - Государственная итоговая аттестация по алгебре (ГИА)

Цель: сообщить основные положения о ГИА и дать рекомендации по написанию экзамена.

Основные положения

В настоящее время возникла и развивается новая форма государственной (итоговой) аттестации по алгебре в 9 классе - аналог Единого государственного экзамена по математике в 11 классе. Такая система уже использовалась при проведении экзамена в 9 классе в десяти регионах России: Московской области, Краснодарском крае, Челябинской, Псковской, Новгородской, Кемеровской, Калининградской и других областях.

Основное назначение новой формы экзамена - введение открытой объективной независимой процедуры оценки знаний учащихся. Результаты такой оценки способствуют осознанному выбору дальнейшего пути получения образования, учитываются при формировании профильных 10 классов.

Характеристика экзаменационной работы

Работа состоит из двух частей, каждая из которых направлена на проверку определенных понятий, знаний, навыков, имеет свою систему оценок в баллах и разное оформление на экзамене.

Часть 1 направлена на проверку базовой подготовки учащихся. Этой частью проверяются: усвоение смысла важнейших понятий, знание важнейших фактов, умение применять известные способы решения несложных задач, применять знания в простейших практических ситуациях.

В части 1 представлены задачи по темам: числа, буквенные выражения, преобразования выражений, уравнения и текстовые задачи, неравенства, функции и графики, последовательности и прогрессии.

В эту часть работы включены 16 заданий с выбором ответа (из четырех приведенных), с кратким ответом и на соотнесение условий задачи и приведенных ответов.

В экзаменационный бланк вписывается только ответ, никаких решений не приводится.

За каждое верно выполненное задание части 1 начисляется 0,5 балла.

Часть 2 направлена на проверку профилированной (повышенного уровня) подготовки учащихся. Проверяются: умение решать достаточно сложные задачи с использованием различных фактов и способов, владение исследовательскими навыками, умение найти и применить нестандартные приемы.

В части 2 представлены задачи по темам: выражения и их преобразования; уравнение и системы уравнений; неравенства; функции; координаты и графики; арифметическая и геометрическая прогрессии; текстовые задачи.

В эту часть работы включены 5 заданий из различных разделов курса. Задания расположены по нарастанию сложности - от относительно простых до достаточно сложных.

Для заданий части 2 предусматривается полная запись хода решения.

Каждое задание оценивается (в зависимости от сложности) в 2, 4 или 6 баллов (даны одна задача в 2 балла, две задачи по 4 балла и две задачи по 6 баллов).

На проведение экзамена отводится 240 мин (4 ч). При этом на выполнение части 1 отводится 60 мин.

Экзаменационная работа предлагается в четырех вариантах. Каждому учащемуся в начале экзамена выдается бланк с полным текстом работы. Ответы к заданиям части 1 учащиеся отмечают в бланке с заданиями, часть 2 выполняется на отдельных листах.

Для оценки результатов выполнения работы используются два количественных показателя: рейтинг (сумма баллов за верно выполненные задания) и оценка «2», «3», «4» или «5». Если за часть 1 работы получено менее 3,5 баллов, то этот результат не компенсируется выполнением заданий части 2, и ученику ставится оценка «2». Если общий рейтинг по работе выражается дробным числом, то он округляется с избытком до ближайшего целого числа. За часть 1 работы можно максимально получить 8 баллов, за часть 2 - 22 балла, за всю работу - 30 баллов.

Соответствие между рейтингом и оценкой: 4-7 баллов - оценка «3», 8-15 баллов - оценка «4», 16-30 баллов - оценка «5».

Общие рекомендации по выполнению экзаменационной работы

1. Математику надо знать. Чем лучше вы ее знаете, тем больше баллов сможете набрать, а значит, получите более высокую отметку и возможность поступить в профильный класс или школу. Наше пособие позволяет эффективно и успешно подготовиться по всем темам, входящим в экзамен (первые шесть тем).

2. Выполняйте задания экзамена в том порядке, в котором они даны. Задания части 1 существенно проще заданий части 2 и не требуют много времени. Кроме того, к этим заданиям приведены варианты ответов, и можно либо определить правильный ответ, либо исключить явно неверные ответы (см. далее).

3. При решении заданий части 1 не тратьте время на аккуратную запись и обоснование решений. Ваша задача - определить правильный ответ, который обводится в тексте задания или вписывается на специальном месте.

4. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удается выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения заданий у вас еще останется время, вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

5. Контролируйте время на выполнение заданий (на первую часть дается не более 60 мин). Не зацикливайтесь на нерешенной задаче - лучше ее пропустить.

6. В оставшееся время переходите к решению более сложных заданий части 2. Здесь вам понадобятся все умения и навыки, творческий нестандартный подход к задаче. Даже если вы до конца не решите задачу, то сделанные этапы задания будут оценены. Пугаться этих заданий не следует - они базируются на более простых и известных задачах. Обращайте внимание на обоснованность решений в этих заданиях. Задания части 2 выполняются на отдельных листах.

7. Как правило, в вычислительных задачах ответом является целое число. Если у вас получился другой ответ, быстро проверьте ход решения и математические расчеты.

Советы по выполнению заданий части 1

В части 1 ГИА есть задания с выбором правильного ответа из четырех предложенных вариантов. Рассмотрим приемы, которые позволяют либо определить правильный ответ, либо исключить явно неверные ответы. Проиллюстрируем эта приемы примерами из вариантов ГИА.

Способ контрольных точек

Ответ проверяется для нескольких (наиболее простых) значений переменных. Способ применяется в преобразованиях выражений, при решении неравенств и т. д.

Пример 1

Упростите выражение (a - 4)2 - 2a(3a - 4).

1) -5а2 + 16

2) -5а2 + 8а - 16

3) -5а2 + 8

4) -5а2 + 8а - 4

Приведенные ответы отличаются свободным членом. Поэтому подставим, например, значение а = 0 в данное выражение и в варианты ответов. При подстановке в выражение получим (-4)2 = 16. При подстановке в варианты ответов только вариант 1 дает тот же результат. Таким образом сразу определяется правильный вариант.

Ответ: 1.

Пример 2

Известно, что а - число нечетное. Какое из приведенных чисел является четным?

1) 3а

2) а + 2

3) 2а + 1

4) а2 + 1

Возьмем любое нечетное число, например 5, и подставим вместо а в варианты ответов. Соответственно получаем: 15, 7, 11 и 26. Видим, что только для варианта ответа 4 получается четное число.

Ответ: 4.

Пример 3

Сравните а2 и а3, если известно, что 0 < а < 1.

1) а2 < а3

2) а2 > а3

3) а2 = а3

4) для сравнения не хватает данных

Даже не зная свойств числовых неравенств, можно взять любое число а, удовлетворяющее неравенству 0 < а < 1, например число 1/2. Найдем a2 = 1/4 и a3 = 1/8. Так как 1/8 < 1/4, то a2 > а3 и правильный будет ответ варианта 2.

Ответ: 2.

Способ граничных точек

При решении неравенств (или задач, связанных с неравенствами) ответы могут различаться граничными точками промежутков. Поэтому проверку надо начинать именно с этих точек. Способ решения похож на предыдущий.

Пример 4

Решите систему неравенств

Варианты ответов 1 и 3 отличаются от ответов 2 и 4 тем, что в них входит точка х = -2. Подставим это значение в данную систему уравнений и получим: или Так как второе неравенство системы не верно, то и варианты ответов 1 и 3 не могут быть верными.

Проверим теперь варианты ответов 2 и 4. Возьмем точку х = -5,входящую в ответ 4 и получим: или Оба неравенства не верны. Поэтому правильным будет вариант 2.

Ответ: 2.

Пример 5

Решите неравенство 2х - 3(х + 4) ≤ х + 12.

Проверим предлагаемые варианты ответов. Для удобства изобразим их на координатных осях. Проверим сначала варианты ответов 3 и 4. Возьмем точку х = -14, входящую только в эти ответы. Подставив в неравенство, получим: 2(-14) - 3(-14 + 4) ≤ -14 + 12, или 2 ≤ -2. Так как неравенство неверное, то ответы 3 и 4 отпадают.

Теперь разберемся с вариантами ответов 1 и 2. Возьмем точку х = 0, которая входит только в ответ 1. Подставив в неравенство, получим: 2 · 0 - 3(0 + 4) ≤ 0 + 2, или 12 ≤ 12. Так как неравенство верное, то правильным будет ответ 1.

Ответ: 1.

Способ оценки величин

В ряде случаев удается оценить величины, входящие в задачу, и выбрать правильный ответ.

Пример 6

Какие целые числа заключены между числами

1) 16, 17, ..., 34

2) 3, 4 и 5

3) 4, 5 и б

4) 4 и 5

Так как 15 ≈ 16, то чуть меньше 4, для оценок будем считать, что это ≈3,9. Число 35 ≈ 36 и чуть меньше 6, для оценок будем считать, что это ≈5,9. Отметим числа 3,9 и 5,9 на координатной оси. Видно, что в промежуток 3,9 ÷ 5,9 попадают только два целых числа: 4 и 5. Поэтому правильным будет вариант ответа 4.

Ответ: 4.

Пример 7

Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны

1) 24

2) 6

3) 4

4)

Очевидно, что чуть больше 2 (для оценок ). Тогда стороны прямоугольника и А его площадь примерно равна 3,2 · 1,2 ≈ 3,8. Учитывая, что в ответе 4 величина видим, что наиболее подходящий ответ 3 (который действительно является правильным).

Ответ: 3.

Пример 8

Укажите наименьшее из указанных чисел: 4/5; 5/4; 0,67; 0,7.

1) 4/5

2) 5/4

3) 0,67

4) 0,7

Легко точно или приблизительно записать обыкновенные дроби в виде десятичных: 4/5 = 0,8 и 5/4 = 1,25. Теперь, сравнив числа 0,8; 1,25; 0,67 и 0,7, видим, что наименьшим является число 0,67.

Ответ: 3.

Способ проверки размерности ответа

В задачах с текстовым содержанием и в задачах, связанных с физикой или геометрией, полезно проверить размерность ответа. Это позволяет сразу отбросить явно неправильные варианты ответов.

Пример 9

Выразите из формулы скорости равноускоренного движения v = v0 + at время t.

Вспомним размерности величин, входящих в данную формулу. Скорости v и v0 измеряются в м/с, ускорение а - в м/с2, время t – в с. Проверим размерность правых частей приведенных ответов и получим: Варианты ответов 3 и 4 сразу отпадают. Варианты 1 и 2 имеют одинаковую размерность, поэтому приходится использовать здравый смысл. При a > 0 тело ускоряется и v > v0, т. е. разность v - v0 > 0. Тогда в случае ответа 1 получаем: t > 0, в случае ответа 2, наоборот: t < 0. Так как никто не знает, что такое отрицательное время, то правильным будет ответ 1.

Ответ: 1.

Пример 10

От города до поселка автомобиль доехал за 3 ч. Если бы он увеличил скорость на 25 км/ч, то затратил бы на этот путь на 1 ч меньше. Чему равно расстояние от города до поселка?

Пусть х км - расстояние от города до поселка. Какое уравнение соответствует условию задачи?

В правой части всех уравнений стоит величина увеличения скорости, она измеряется в км/ч. В левой части числа 2 и 3 соответствуют времени движения автомобиля с увеличенной скоростью и реальной скоростью. Эти числа (время) имеют размерность ч. Определим размерность левых частей каждого варианта ответа: 1) км : ч = км/ч; 2) км : ч = км/ч; 3) ч : км = ч/км; 4) ч : км = ч/км. По несоответствию размерностей левой и правой частей уравнения варианты ответов 3 и 4 отпадают. Разберемся с вариантами ответов 1 и 2. Так как х - положительная величина (расстояние), то x/2 > x/3. Значит, выражение x/2 – x/3 > 0, а выражение x/3 – x/2 < 0. Так как в правой части уравнений в ответах 1 и 2 стоит положительное число 25, то правильным будет ответ 1.

Ответ: 1.

Способ проверки ответов по условию

Иногда, используя условие задачи, можно сразу проверить ответ.

Пример 11

Решите уравнение 1/3х2 - 12 = 0.

1) x1 = 2, x2 = -2

2) х = 2

3) x1 = 6, х2 = -6

4) х = 6

Так как в данном квадратном уравнении нет линейного члена, то его корни являются симметричными числами, т. е. если уравнение имеет корень х0, то число -х0 также будет корнем этого уравнения. Поэтому варианты ответов 2 и 4 (которые содержат только один корень) явно не подходят.

Проверим ответ 1. Подставим в уравнение, например, значение х = 2 и получим: Значит, ответ 1 тоже не подходит. Итак, правильный ответ 3.

Ответ: 3.

Пример 12

Решите уравнение

1) -23

2) -20

3) -6

4) -9

Проверим приведенные ответы, подставляя их в левую часть уравнения. Получим:

Правильный ответ.

Ответ: 4.

Способ обратной задачи

Достаточно часто в задачах, связанных с преобразованиями выражений, проще решить обратную задачу и тем самым проверить приведенные ответы.

Пример 13

Укажите выражение, тождественно равное многочлену 4х2 - 6ху.

1) -2х(-3у - 2х)

2) -2х(3у - 2х)

3) -2х(3у + 2х)

4) -2х(2х - 3у)

Ответы представляют собой разложение некоторого многочлена на множители. Если при раскрытии скобок в вариантах ответов получится данный многочлен, то разложение на множители сделано правильно. Так как в данном многочлене коэффициенты членов противоположны по знаку, то в ответах в скобках коэффициенты слагаемых также будут противоположны по знаку. Поэтому ответы 1 и 3 сразу можно отбросить. Раскроем скобки в ответах 2 и 4 и получим:

2) —2х(3у - 2х) = -6ху + 4х2 (данный многочлен);

4) -2х(2х - 3у) = -4х2 + 6ху.

Ответ: 2.

Пример 14

Известно, что верно неравенство х > у - z. Какое из приведенных неравенств также является верным?

1) x – y > z

2) y > x + z

3) z – x > y

4) z > y - x

Запишем неравенства в ответах в виде, аналогичном виду данного неравенства: слева - переменная х, справа - переменные у и z. Получаем: 1) х > у + z; 2) х < у - z; 3) х < z - у; 4) х > у - z. Видно, что только в последнем случае неравенство в ответе и данное неравенство совпадают.

Ответ: 4.

Другие способы

В простейших случаях можно использовать соображения, основанные на здравом смысле и очень поверхностном знании математики.

Пример 15

Средний вес девочек того же возраста, что и Маша, равен 36 кг. Вес Маши составляет 110% среднего веса. Сколько весит Маша?

1) 32,4 кг

2) 39,6 кг

3) 36 кг

4) 3,6 кг

Так как вес Маши составляет 110% среднего веса (т.е. несколько больше среднего веса), значит, она весит больше 36 кг. Из имеющихся вариантов ответа подходит только ответ 2.

Ответ: 2.

Пример 16

Из полного бака, вместимость которого 100 л, через открытый кран вытекает вода со скоростью 5 л/мин. Количество воды у, остающейся в баке, является функцией времени х, в течение которого вытекает вода. Задайте эту функцию формулой.

1) y = 100 - 5х

2) у = 5х

3) у = 5х - 100

4) y = 100 – 5/х

Из здравого смысла понятно, что с течением времени х в баке остается все меньше и меньше воды у. Поэтому y(х) должна быть убывающей функцией. Из приведенных функций только функция 1) у = 100 - 5х является убывающей. Если вам трудно установить монотонность функции, то достаточно сравнить значения приведенных функций, например, при х = 1 и при х = 20.

Из приведенных примеров видно, что простые приемы позволяют найти правильные ответы многих заданий, фактически не решая их.