Примеры комбинаторных задач - Элементы комбинаторики - Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Цель: рассмотреть некоторые задачи комбинаторики.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Изучение нового материала

С точки зрения авторов, изучение этой темы в средней школе (а тем более в 9 классе) не оправданно по следующим причинам:

1. Комбинаторика и теория вероятностей являются изолированными разделами математики, имеют своеобразную логику и методику решения задач.

2. Эти разделы практически не связаны с изучаемым курсом алгебры, не подкреплены повседневной практикой и будут очень быстро забыты.

3. Даже далеко не в каждом техническом вузе необходимо изучение таких дисциплин.

4. Вряд ли средний девятиклассник в состоянии освоить эти разделы математики. Разумнее потратить время, отведенное на такие темы, для более детального изучения основных разделов алгебры 9 класса.

Тем не менее необходимо рассмотреть эти темы.

Комбинаторикой называют область математики, изучающую вопросы о числе различных комбинаций (удовлетворяющих тем или иным условиям), которые можно составить из данных элементов. Первоначально комбинаторика (и теория вероятностей) возникла в XVI в. в связи с распространением различных азартных игр. В настоящее время комбинаторика используется в теории информации (кодировка и декодировка), линейном программировании (составление расписаний уроков, грузоперевозок) и т. д.

Сначала рассмотрим некоторые задачи комбинаторики.

Пример 1

Сколько существует двузначных чисел?

При образовании чисел используются десять цифр: 0, 1, 2, ..., 9. Так как число двузначное, то число десятков может принимать одно из девяти значений: 1, 2, 3, ..., 9. Число единиц принимает те же значения и еще 0 (10 вариантов).

Если цифра десятков 1, то цифра единиц может быть любой из десяти: 0, 1, 2, ..., 9. Если цифра десятков 2, то цифра единиц вновь может быть любой из десяти: 0, 1, 2, ..., 9 и т.д.

Тогда получаем, что возможно 9 · 10 = 90 вариантов (чисел).

Разумеется, их легко выписать: 10, 11, 12, ...,99.

Пример 2

Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

Очевидно, что на первом (соответственно, и на последнем) месте может стоять любая цифра (кроме нуля) - 9 вариантов. На втором (соответственно, и на предпоследнем) месте может стоять любая цифра - 10 вариантов. На третьем месте (в середине) также может стоять любая цифра - 10 вариантов.

Тогда получаем, что возможно 9 · 10 · 10 = 900 вариантов (чисел).

Из рассмотренных примеров можно сформулировать комбинаторное правило умножения. Пусть имеем n элементов и надо выбрать из них один за другим k элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами, после чего второй элемент можно выбрать n2 способами из оставшихся, затем третий элемент можно выбрать n3 способами из оставшихся и т. д., то число способов, которыми могут быть выбраны все к элементов, равно произведению n1 · n2 · n3 · ... · nk.

Пример 3

В спортивных соревнованиях участвуют 10 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая, серебряная и бронзовые медали, если каждая команда может получить только одну медаль?

Начнем распределять медали с наименее ценной. Бронзовую медаль может получить одна из 10 команд (10 вариантов). После этого серебряную медаль получит одна из оставшихся 9 команд (9 вариантов). Наконец, золотую медаль получает одна из оставшихся 8 команд (8 вариантов).

Следовательно, общее число способов, которыми могут быть распределены золотая, серебряная и бронзовая медали, равно 10 · 9 · 8 = 720.

Пример 4

В 9 классе изучаются 10 предметов. Во вторник должны быть проведены 6 различных уроков. Сколькими способами можно составить расписание занятий на вторник?

По аналогии с примерами 1-4 на первом уроке изучается любой из 10 предметов, на втором уроке - любой из оставшихся 9 предметов, на третьем уроке - любой из оставшихся 8 предметов и т.д.

Таким образом, расписание можно составить 10 · 9 · 8 · 7· 6 · 5 = 151 200 способами.

III. Контрольные вопросы

1. Какие вопросы изучает комбинаторика?

2. Области применения комбинаторики.

3. Комбинаторное правило умножения.

IV. Задание на уроке

№ 714; 716; 718 (а); 719 (б); 721; 724; 725; 728.

V. Задание на дом

№ 715; 717; 718 (б); 719 (а); 720; 722; 723; 726; 727.

VI. Подведение итогов урока