Поурочные разработки по Алгебре для 9 класса к учебнику Ю.Н. Макарычева

Применение метода интервалов для решения неравенств - Неравенства с одной переменной - Уравнения и неравенства с одной переменной

Целы рассмотреть использование метода интервалов для решения неравенств других типов.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Методом интервалов решите неравенство.

2. Найдите область определения функции

Вариант 2

1. Методом интервалов решите неравенство.

2. Найдите область определения функции

III. Изучение нового материала

Уже рассматривался метод интервалов. Применим тот же метод к решению неравенств высоких степеней. Рассмотрим схему решения на следующем примере.

Пример 1

Решим неравенство

Прежде всего отметим, что если в разложение многочлена на множители входит сомножитель (х - х0)k, то говорят, что х0 - корень многочлена кратности k. Для решения неравенства важно знать, является ли k четным или нечетным числом, т. к. при четном k многочлен справа и слева от х0 имеет один и тот же знак (т. е. знак многочлена не меняется), а при нечетном k многочлен справа и слева от х0 имеет противоположные знаки (т. е. знак многочлена изменяется).

Вернувшись к данному неравенству, отметим, что многочлен имеет корни: х1 = -5 (кратности 8 - четная кратность), х2 = -2 (кратности 3 - нечетная), х3 = 0 (кратности 1 - нечетная), х4 = 1 (кратности 2 - четная), х5 = 3 (кратности 7 - нечетная). Нанесем эти корни на числовую ось и буквами «Н» и «Ч» отметим четность кратности этих корней.

Определим знак многочлена, стоящего в левой части неравенства при любом х, не совпадающем с корнями (например, при х = -3 многочлен отрицательный). Рассмотрим теперь знаки многочлена, двигаясь в положительном направлении оси 0х. Так как х = -2 — корень нечетной кратности, то при этом значении х происходит изменение знака многочлена на противоположный и многочлен на промежутке (-2; 0) положительный. При х = 0 (корень нечетной кратности) опять происходит изменение знака многочлена и он на промежутке (0; 1) становится отрицательным. Так как х = 1 - корень четной кратности, то многочлен знака не меняет и на промежутке (1; 3) он по-прежнему отрицательный. Рассуждая подобным образом, нетрудно получить полную диаграмму знаков многочлена на всей числовой оси, приведенную на рисунке. После этого легко ответить на вопрос задачи: при каких х знак многочлена неотрицательный. Из рисунка видно, что такими х являются

Разумеется, в тех случаях, когда неравенство не имеет вида, приведенного в примере 1, необходимо, используя те или иные приемы, привести это неравенство к указанному виду.

Пример 2

Решим неравенство х3 + 6 > 7х.

Запишем неравенство в виде х3 + 6 - 7х > 0 и разложим многочлен в левой части на множители. Для этого член -7х представим как сумму двух слагаемых: -6х и -х и сгруппируем члены многочлена: х3 - х + (6 - 6х) > 0, или х(х2 - 1) - 6(х - 1) > 0, или х(х - 1)(х + 1) - 6(х - 1) > 0, или (х - 1)(х2 + х - 6) > 0. Разложение х2 + х - 6 на множители проводим стандартным путем, зная его корни (х = -3, х = 2), и окончательно получаем: (х - 1)(х +3)(х - 2) > 0. Все корни этого многочлена первой кратности, и дальнейшее решение не вызывает трудностей. Построив диаграмму знаков многочлена, найдем х ∈ (-3; 1)U(2; +∞).

Остановимся теперь на решении рациональных неравенств методом интервалов.

Рациональные неравенства легко сводятся к решению неравенств высоких степеней. Действительно, после преобразований левая часть рационального неравенства может быть представлена в виде отношения многочленов Р(х) и Q(х), т. е. Умножим обе части такого неравенства на многочлен [Q(x)]2, который положителен при всех допустимых значениях х (т. к. Q(x) ≠ 0). Тогда знак неравенства не меняется и получаем неравенство Р(х) · Q(x) v 0, эквивалентное данному. То есть исходное неравенство эквивалентно системе неравенств которая далее решается методом интервалов.

Пример 3

Решим неравенство

Отметим прежде всего, что (5х - х2)(х + 2) ≠ 0, или х(5 - х)(х + 2) ≠ 0, т. е. х ≠ -2, х ≠ 0, х ≠ 5 (ОДЗ неравенства). Сведем данное рациональное неравенство к алгебраическому (аналогичному примеру 1). Для этого умножим обе части неравенства на положительное выражение - квадрат знаменателя (5х - х2)2(х + 2)2. При этом знак неравенства не меняется и получаем: (х2 + 1)(х2 - 2х - 3)(5х - х2)(х + 2) ≥ 0. Разложив квадратные трехчлены на множители, имеем: (х2 + 1)(х - 3)(х + 1)х(5 - х)(х + 2) ≥ 0. Решаем это неравенство методом интервалов, учитывая, что все корни многочлена имеют первую кратность: х ∈ (-∞; -2]U[-1; 0]U[3; 5).

Теперь учтем ОДЗ исходного неравенства и окончательно найдем: х ∈ (-∞; -2)U[-1; 0)U[3; 5).

В более сложных случаях рациональные неравенства сначала сводятся к неравенствам, аналогичным примеру 3, а затем решаются методом интервалов.

Пример 4

Решим неравенство

Чтобы свести пример к аналогичному предыдущему примеру, перенесем все члены неравенства в его левую часть: Приведя дроби к общему знаменателю, получим: т. е. неравенство предыдущего типа. Решая его аналогично, найдем: х ∈ (-∞; -8]U(-3; -1)U[1; 7).

Для диаграммы знаков учтены корни числителя х2 + 7х - 8 (х = -8 и х = 1), первая кратность всех корней и ограничения на х (х ≠ -3, х ≠ -1, х ≠ 1).

Пример 5

Решить неравенство

ОДЗ неравенства определяется условиями: х - 1 ≠ 0, х - 3 ≠ 0 (т. е. х ≠ 1, х ≠ 3). Почленно разделим дроби в левой части неравенства на знаменатели, сгруппировав слагаемые в числителях дробей: или или или Приводим дроби к общему знаменателю и получаем: Далее решаем это неравенство по обычной схеме и находим: х ∈ (1; 2]U(3; +∞).

При наличии в рациональных неравенствах знаков модуля их надо раскрыть.

Пример 6

Решить неравенство

Используя метод интервалов, в данном неравенстве раскроем знаки модуля. Рассматриваемые промежутки показаны на рисунке.

а) Если х ∈ (-∞; 0] (интервал I), то данное неравенство имеет вид: или или или Так как дробь неотрицательная и ее числитель положительный, то знаменатель также должен быть положительным, т. е. х - 2 > 0. Решая это неравенство, получаем: х ∈ (2; +∞). Но это решение в рассматриваемый промежуток х ∈ (-∞; 0] не входит и решением не является (т. е. х ∈ Ø).

б) Если х ∈ (0; 3) (интервал II), то получаем неравенство или или Решая это неравенство, находим х ∈ (2; 3]. Это решение (за исключением точки х = 3) входит в рассматриваемый промежуток, поэтому х ∈ (2; 3) (учтено, что х ≠ 2).

в) Если х ∈ [3; +∞) (интервал III), то имеем неравенство или (х ≠ 4), или 1 ≥ 1. Так как получено верное неравенство, то рассматриваемый промежуток (за исключением точки х = 4) является решением неравенства, т. е. х ∈ [3; 4)U(4; +∞).

Объединяя случаи б) и в), получаем окончательный ответ: х ∈ (2; 4)U(4; +∞).

Метод интервалов также эффективен при решении неравенств с параметрами.

Пример 7

Решим неравенство

ОДЗ неравенства х ≠ а. Найдем корни числителя х1 = 1 и х2 = -3. Далее удобно использовать метод интервалов. Однако если применять его для координатной прямой, то придется рассматривать пять случаев: а) а < -3, б) а = -3, в) -3 < а < 1, г) а = 1, в) а > 1 и для каждого случая рисовать соответствующие диаграммы знаков дроби. Поэтому удобнее и нагляднее использовать метод интервалов для координатной плоскости.

В плоскости аОх построим прямые х = -3, х = 1 (сплошные линии) и х = а (пунктирная прямая). При пересечении этих прямых происходит изменение знака дроби

Для любой точки А (с координатами а = 2, х = 0) определим знак такой дроби: т. е. данное неравенство не выполняется. Теперь легко заштриховать множество точек (а; х), для которых неравенство выполнено.

Фиксируем значение а и строим семейство вертикальных прямых х = а (одна из них для -3 < а < 1 показана штрихпунктирной линией). Выписываем промежутки х, при которых прямая попадает в заштрихованные области. Теперь записываем ответ: при а ∈ (-∞;-3) х ∈ (-∞; a)U[-3; 1], при а = -3 х ∈ (-∞; - 3)U(-3; 1], при a ∈ (-3; 1) х ∈ (-∞; -3]U(а; 1], при а = 1 х ∈ (-∞;-3], при а ∈ (1; +∞) х ∈ (-∞; -3]U[1; а).

IV. Задание на уроке

№ 327 (а); 328 (б); 329 (а); 332 (б); 334 (в, г); 335 (а, г); 336 (а, б); 337 (в, г); 338 (а, г).

V. Задание на дом

№ 327 (б); 328 (а); 329 (б, в); 333 (а); 334 (а, б); 335 (б, в); 36 (в, г); 337 (а, б); 338 (б, в).

VI. Творческие задания

Решите неравенство.