Итоги контрольной работы - урок 9 - ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ - КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ

Цели: сообщить результаты работы, рассмотреть наиболее типичные ошибки, разобрать трудные задачи.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Итоги контрольной работы

1. Распределение работ по вариантам и результатам решения. Данные о результатах работы удобно заносить в таблицу (для каждой пары вариантов).

№ задачи Итоги	1	2	3	...	6
+	5
±	1
—	1
Ø	1

Обозначения:

+ — число решивших задачу правильно или почти правильно.

± — число решивших задачу со значительными ошибками; .

— — число не решивших задачу;

Ø — число не решавших задачу. Вариант 1, 2 — 8 учеников.

2. Типичные ошибки, возникшие при решении задач.

3. Наиболее трудные задачи и их разбор (учителем или школьниками, сделавшими эту задачу).

4. Разбор всей контрольной работы (вывесить на стенде ответы к заданиям вариантов и разбор наиболее трудных вариантов).

III. Ответы и решения

Вариант 1

1. Ответ: -5.

2. Ответ: х1 = -6, x1 = 1.

3. Ответ: x0 = 3, у0 = 1.

4. Ответ: x = -3.

5. Ответ: у = х2 + 8х + 7.

Вариант 2

1. Ответ: -42.

2. Ответ: х1 = 1, х2 = 3.

3. Ответ: x0 = 2, у0 = -4.

4. Ответ: х = -2.

5. Ответ: у = х2 + 6х + 5.

Вариант 3

1. Ответ: у = 2х2 - 5х + 6.

2. Ответ: х1 = 1/2, х2 = 1.

3. Ответ: х0 = -1, y0 = -7.

4. Ответ-. (-2; -7), (1/3; -2).

5. Ответ: 19.

Вариант 4

1. Ответ: y = -3x2 + 22x - 34.

2. Ответ: х1 = 3/4, х2 = 1.

3. Ответ: х0 = -1, у0 = 10.

4. Ответ: (3/2; 4), (2; 6).

5. Ответ: -13.

Решения

Вариант 5

1. Для функции y(x) = -3x2 + 4x - 2 подставим значение аргумента и получим

Ответ: -3х2 + 2х - 1.

2. Так как значение функции у = х2 + 2ax - a2 равно 2а2, то получим однородное квадратное уравнение: х2 + 2ах - а2 = 2а2 или х2 + 2ах - 3а2 = 0. Решим его, используя формулу с четным вторым коэффициентом: т. е. х1 = -3 а и х2 = а. Поэтому при а ≠ 0 значение 2а2 функция достигает в двух разных точках х1 = -3а и х2 = а. При а = 0 функция достигает данного значения в одной точке х = 0.

Ответ: при а ≠ 0 x1 = -3а и x2 = а; при а = 0 x = 0.

3. Пусть первое число равно х, тогда второе число 80 - х. Найдем сумму квадратов этих чисел Функция у = 2х2 – 160x + 6400 достигает наименьшего значения при Итак, если каждое из чисел равно 40, то сумма квадратов таких чисел будет наименьшей.

Ответ: 40 и 40.

4. Так как значения функций равны, то получаем уравнение х2 - 3х + 4 = |5х - 3|. Для его решения раскроем знак модуля.

а) Если 5x - 3 < 0 (т. е. х < 3/5), то получаем уравнение: х2 - 3х + 4 = -(5x - 3) или х2 + 2х + 1 = 0, или (x + 1)2 = 0. Его корень х = -1 удовлетворяет условию х < 3/5 и является решением данного уравнения.

б) Если 5х – 3 ≥ 0 (т. е. х ≥ 3/5), то получаем уравнение: х2 - 3х + 4 = 5х – 3 или х2 - 8х + 7 = 0. Его корни х1 = 1 и х2 = 7 удовлетворяют условию х ≥ 3/5 и также являются решениями данного уравнения.

Ответ: х1 = -1, х2 = 1 и х3 = 7.

5. Построим график функции y = (x + 3)|x - 1|. Для этого раскроем знак модуля.

а) Если х – 1 < 0 (т. е. х < 1), то функция имеет вид у = (х + 3)(1 – x). Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс. Получаем уравнение 0 = (x + 3)(1 - x), корни которого х1 = -3 и х2 = 1 (точки А и В). Абсцисса вершины параболы ордината Строим вершину параболы — точку С. Найдем точку пересечения параболы с осью ординат. Положим х = 0 и получим у(0) = (0 + 3)(1 - 0) = 3 (точка D). Через точки А, В, С и D проводим параболу и выбираем ту ее часть, для которой х < 1.

б) Если х – 1 ≥ 0 (т. е. х ≥ 1), то функция имеет вид y = (x + 3)(x - 1). Запишем ее в виде y = -(x + 3)(1 - x). Сравнивая ее с функцией в пункте а) y = (x + 3)(1 - x), можно увидеть, что их значения противоположны по знаку. Поэтому при х ≥ 1 участок BE уже построенной в пункте а) параболы зеркально отражаем относительно оси абсцисс и получаем кривую BF. Итак, график функции построен.

Ответ: см. график.

6. Если (х0; у0) — точка касания прямой и параболы, то (х0; у0) — единственное решение системы уравнений Приравняем правые части уравнений и получим квадратное уравнение: 2х + 3 = kх2 + 6х + 4 или 0 = kх2 + 4х + 1. Это уравнение (а следовательно, и система уравнений) имеет единственное решение, если дискриминант D = 16 – 4k = 0, откуда k = 4. При k = 4 уравнение 0 = kх2 + 4х + 1 имеет вид 0 = 42 + 4х + 1 или 0 = (2х + 1)2, откуда x = -1/2, тогда Итак, при k = 4 данные прямая и парабола касаются в точке (-1/2; 2).

Ответ: k = 4, (-1/2; 2).

Вариант 6

1. Для функции у(х) = 2х2 - 7х + 1 подставим значение аргумента и получим

Ответ: 8х2 - 22х + 10.

2. Так как значение функции y = x2 – ax - a2 равно a2, то получим однородное квадратное уравнение: x2 – ax - a2 = a2 или x2 – ax - 2a2 = 0. Решим его: т. е. x1 = -a и х2 = 2a. Поэтому при a ≠ 0 значение а2 функция достигает в двух разных точках х1 = -а и х2 = 2а. При а = 0 функция достигает данного значения в одной точке х = 0.

Ответ: при а ≠ 0 х1 = -а и х2 = 2а; при а = 0 х = 0.

3. Пусть первое число равно х, тогда второе число 60 - х. Найдем произведение этих чисел y = x(60 - x) = -x2 + 60x. Функция y = -х2 + 60х достигает наименьшего значения при Итак, если каждое из чисел равно 30, то произведение таких чисел будет наибольшим.

Ответ: 30 и 30.

4. Так как значения функций равны, то получаем уравнение х2 - 2х + 5 = |3х + 1|. Для его решения раскроем знак модуля.

а) Если 3х + 1 < 0 (т. е. x = -1/3), то получаем уравнение: х2 - 2х + 5 = -(3х + 1) или х2 + х + 6 = 0. Дискриминант уравнения отрицательный и оно корней не имеет.

б) Если 3х + 1 ≥ 0 (т. е. х ≥ -1/3), то получаем уравнение: х2 - 2х + 5 = 3х + 1 или х2 - 5х + 4 = 0. Его корни х1 = 1 и х2 = 4 удовлетворяют условию x ≥ -1/3 и являются решениями данного уравнения.

Ответ: x1 = 1, х2 = 4.

5. Построим график функции у = |х + 3|(х - 1). Для этого раскроем знак модуля.

а) Если х + 3 < 0 (т. е. х < -3), то функция имеет вид y = -(х + 3)(х – 1). Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс. Получаем уравнение 0 = -(х + 3)(х - 1), корни которого x1 = -3 и х2 = 1 (точки А и В). Абсцисса вершины параболы ордината Строим вершину параболы - точку С. Найдем точку пересечения параболы с осью ординат. Положим x = 0 и получим y(0) = -(0 + 3)(0 - 1)= 3 (точка D). Через точки А, В, С, D проводим параболу и выбираем ту ее часть, для которой x < -3 (часть АЕ).

б) Если х + 3 ≥ 0 (т. е. х ≥ -3), то функция имеет вид y = (x + 3)(x - 1). Сравнивая ее с функцией в пункте а) у = -(x + 3)(x - 1), можно увидеть, что их значения противоположны по знаку. Поэтому при x ≥ -3 участок ACDBF уже построенной в пункте а) параболы зеркально отражаем относительно оси абсцисс и получаем кривую AHBG.

Итак, график функции построен.

Ответ: см. график.

6. Если (х0; у0) — точка касания прямой и параболы, то (x0; у0) — единственное решение системы уравнений Приравняем правые части уравнений и получим квадратное уравнение: 3х - 2 = kх2 - 3х - 1 или 0 = kх2 – 6x + 1. Эго уравнение (а следовательно, и система уравнений) имеет единственное решение, если дискриминант D = 36 – 4k = 0, откуда k — 9. При k = 9 уравнение 0 = kx2 - 6х + 1 имеет вид 0 = 9x2 – 6x + 1 или 0 = (3x - 1)2, откуда х = 1/3, тогда Итак, при k = 9 данные прямая и парабола касаются в точке (1/3; -1).

Ответ: k = 9, (1/3; -1).