Поурочные разработки по алгебре для 8 класса к учебнику Ю.Н. Макарычева

Общий вид квадратичной функции, ее свойства и график - ФУНКЦИЯ y = ах2 + bх + с - КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ

Цель: рассмотреть квадратичную функцию у = ах2 + bх + с и ее свойства, построить график функции.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Как получить из графика функции у = х2 график функции у = 2,5x2 ?

2. Укажите промежутки возрастания функции у = ах2.

3. Парабола у = ах2 проходит через точку (-3; 2). Найти коэффициента.

4. Графически решите неравенство -х2 ≥ -7.

Вариант 2

1. Как получить из графика функции у = х2 график функции у = 1,5х2?

2. Укажите промежутки убывания функции у = ах2.

3. Парабола у = ах2 проходит через точку (-5; 3). Найти коэффициент а.

4. Графически решите неравенство -х2 < -6.

III. Изучение нового материала (основные понятия)

Рассмотрим общий вид квадратичной функции у = ax2 + bх + с, ее свойства и график сначала на частном примере.

Пример 1

Построим график функции у = х2 + 4х + 3.

Составим таблицу значений этой функции в промежутке [-5; 1] с шагом 0,5. Построим эти точки и проведем через них плавную кривую. Получим график данной функции.

x	-5	-4,5	-4	-3,5	-3	-2,5	-2
y	8	5.25	3	1,25	0	-0,75	-1

x	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1
y	-0,75	0	1,25	3	5,25	8

Попросите учащихся отметить закономерности этого графика и сравнить их с графиком функции у = х2.

Укажем эти закономерности:

1. Графиком является парабола, смещенная вдоль оси х и вдоль оси у. Это смещение составляет 2 единицы влево по оси Ох и 1 единицу вниз по оси Оу.

2. Ветви параболы направлены вверх.

3. График симметричен относительно вертикальной прямой с уравнением х = -2.

4. Вершина параболы имеет координаты (-2; -1).

Давайте поймем такое поведение графика функции у = х2 + 4х + 3.

Для этого выделим полный квадрат суммы: у = (х2 + 4х + 3) - 1 или y = (x + 2)2 - 1.

Сначала сравним графики функций у = х2 и y = (x + 2)2. Найдем значение функции у = х2 в точке х1 и получим у1 = x12. Теперь найдем значение второй функции в точки х1 - 2 и получим y = (x1 – 2 + 2)2 = х12. Видно, что значение второй функции совпадает со значением первой функции, но только при значении аргумента на 2 единицы меньше. Так как величина х1 выбрана произвольно, то графиком функции у = (х + 2)2 является парабола, полученная из параболы у = х2 сдвигом (параллельным переносом) влево на 2 единицы.

Теперь сравним графики функций y = (x + 2)2 и y = (x + 2)2 - 1. При каждом значении х значение функции y = (х + 2)2 -1 меньше на 1 единицу значения функции у = (х + 2)2. Поэтому графиком функции у = (х + 2)2 -1 является парабола, полученная сдвигом параболы y = (х + 2)2 вниз на 1 единицу.

Следовательно, графиком функции у = х2 + 4х + 3 (или y = (x + 2)2 - 1) является парабола, получаемая сдвигом параболы у = х2 на 2 единицы влево и на 1 единицу вниз. Разумеется, ветви этой параболы направлены вверх. Осью симметрии параболы является прямая, параллельная оси ординат, проходящая через вершину параболы — точку (-2; -1). Таким образом, все отмеченные особенности графика функции у = х2 + 4х + 3 получают объяснение.

Любую квадратичную функцию y = ax2 + bx + c с помощью выделения полного квадрата можно записать в виде , где величины х0 и y0 выражаются через коэффициенты a, b и с данной функции: При этом х0 и y0 — координаты вершины параболы.

Графиком функции является парабола, получаемая сдвигом параболы у = ах2:

1) вдоль оси абсцисс вправо, если х0 > 0, и влево, если х0 < 0, на |х0| единиц;

2) вдоль оси ординат вверх, если y0 > 0, и вниз, если у0 < 0, на |у0| единиц. Таким образом, графиком функции у = ах2 + bх + с (или записанной в другом виде функции ) является парабола, получаемая сдвигом параболы у = ах2 вдоль координатных осей на |x0| и |у0| единиц (см. ранее изложенное). Равенство у = ах2 + bх + с (или ) называют уравнением параболы.

Координаты (х0 и у0) вершины параболы y = ax2 + bх + с (или ) можно найти по формулам: (или ).

Ось симметрии параболы — прямая, параллельная оси ординат и проходящая через вершину параболы, т. е. прямая, имеющая уравнение х = х0.

Ветви параболы направлены вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0.

Пример 2

Еще раз вернемся к функции у = х2 + 4х + 3 (пример 1). Для этой функции а = 1, b = 4, с = 3. Найдем координаты вершины параболы и (или ). Тогда функцию y = x2 + 4x + 3 можно записать в виде или y = 1 · (х - (-2))2 – 1. Поэтому график функции y = x2 + 4x + 3 получается сдвигом графика у = х2 на 2 единицы влево (т. к. х0 = -2 < 0) и на 1 единицу вниз (т. к. у0 = -1 < 0). При этом координаты вершины параболы х0 = -2, у0 = 1; ось симметрии имеет уравнение х = -2. Все эти выводы полностью согласуются с анализом примера 1.

Пример 3

Написать уравнение параболы, проходящей через точку А(2; 6) и имеющей вершину в точке В(3; 4).

Общее уравнение параболы , где координаты ее вершины (х0; у0). Так как в данной задаче координаты вершины параболы (3; 4), то уравнение имеет вид у = а(х – 3)2 + 4. Учтем, что парабола проходит через точку А(2; 6) и ее координаты удовлетворяют уравнению параболы. Поэтому получаем: 6 = a(2 – 3)2 + 4 или 6 = а + 4, откуда находим а = 2. Итак, парабола задается уравнением y = 2(x – 3)2 + 4 или у = 2х2 - 12х + 22 .

Пример 4

Написать уравнение параболы, проходящей через точки А(-1; 10), В(0; 5) и С(2; 13).

Общее уравнение параболы у = ах2 + bх + с. Так как парабола проходит через три данные точки, то их координаты удовлетворяют уравнению параболы. Получаем систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: или Подставим значение с = 5 в первое и третье уравнения. Получим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: или Используя способ сложения, имеем 9 = 3а, откуда a = 3. Тогда из первого уравнения b = a – 5 = 3 – 5 = -2. Итак, найдены коэффициенты а = 3, b = -2 и с = 5. Поэтому уравнение параболы у = 3х2 - 2х + 5.