Подготовка к зачету по теме «Квадратные уравнения» - ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ - КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Цель: решение задач по теме «Квадратное уравнение и его корни».

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Основные понятия (повторение материала)

При необходимости напомните учащимся основные понятия темы. Квадратным уравнением называют уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где х — переменная (неизвестная), а, b, с — некоторые числа (а ≠ 0): а — первый коэффициент, b — второй коэффициент, с — свободный член уравнения.

Неполным квадратным уравнением называют уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов Ь или с равен нулю.

Решение неполного квадратного уравнения основано на разложении его левой части на множители.

Если b = 0, то уравнение имеет вид ах2 + с = 0 (при с ≠ 0). При –c/a > 0 уравнение имеет два корня при –c/a < 0 уравнение корней не имеет.

Если с = 0, то уравнение имеет вид ах2 + bх = 0 (при b ≠ 0). Уравнение имеет два корня х1 = 0 и х2 = -b/a.

Если b = 0 и с = 0, то уравнение имеет вид ах2 = 0. Уравнение имеет единственный корень х = 0.

Квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 решается способом выделения квадрата двучлена.

Выражение D = b2 - 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. Если D > 0, то уравнение имеет два корня (или ).

Если D = 0, то уравнение имеет единственный корень х = -b/2a.

Если D < 0, то уравнение корней не имеет.

Выражение D1 = k2 - ac называют дискриминантом квадратного уравнения ах2 + 2kх + с = 0 (уравнение со вторым четным коэффициентом). Если D1 > 0, то уравнение имеет два корня Если D1 = 0, то уравнение имеет единственный корень х = -k/a. Если D1 < 0, то уравнение корней не имеет.

Теорема Виета

Если приведенное квадратное уравнение х2 + рх + q = 0 имеет корни х1 и х2, то их сумма х1 + х2 = -р и произведение х1х2 = q.

Если квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет корни х1 и х2, то их сумма х1 + х2 = -b/a и произведение х1х2 = c/a.

Обратная теорема Виета

Если числа m и n такие, что их сумма равна -р, а произведение равно q, то числа m и n являются корнями приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0.

Уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями, называют рациональным. Рациональное уравнение, в котором обе части являются целыми выражениями, называют целым. Рациональное уравнение, в котором хотя бы одна часть является дробным выражением, называют дробным.

Решение дробных рациональных уравнений:

1. Находят общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

2. Умножают обе части уравнения на этот общий знаменатель.

3. Решают получившееся целое уравнение.

4. Исключают те корни, при которых обращается в нуль общий знаменатель дробей.

5. Записывают ответ.

III. Задание на уроке

№ 633 (б); 636 (а); 640 (а); 646; 655; 673 (а, з); 678 (б); 681; 684; 701.

IV. Задание на дом

№ 633 (а, в); 636 (а); 640 (б); 647; 654; 673 (г, ж); 678 (а); 682; 686; 706.

V. Подведение итогов урока